Skalarprodukt und Beweis

Question

Sei \( V = \mathbb{R}^2 \).

(a) Man prüfe, ob es ein Skalarprodukt \( \varphi \) von \( V \) gibt, für das sowohl \( (1, 0)^\top \perp (0, 1)^\top \) als auch \( (2, -3)^\top \perp (-1, 1)^\top \) gilt.

(b) Man beweise, dass es Skalarprodukte \( \varphi \) von \( V \) gibt, für die \( (1, 0)^\top \perp (0, 1)^\top \) und gleichzeitig \( (2, 3)^\top \perp (-1, 1)^\top \) gilt. Man bestimme die Menge \( S \) aller dieser Skalarprodukte.

(c) Man bestimme das Skalarprodukt \( \varphi' \in S \), für das \( (1, 0)^\top \) die Länge \( \sqrt{3} \) hat.

Answer 1

a)  Sei <... , ...> so ein Skalarprodukt, dann gilt wegen \( (1, 0)^\top \perp (0, 1)^\top \)

zunächst \( < \begin{pmatrix} 1\\0 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 0\\1 \end{pmatrix}>=0 \).

Wäre \( (2, -3)^\top \perp (-1, 1)^\top \), dann müsste auch gelten

\( < \begin{pmatrix} 2\\-3 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} -1\\1 \end{pmatrix}>=0 \)

Aber es ist wegen der Multilinearität \( < \begin{pmatrix} 2\\-3 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} -1\\1 \end{pmatrix}> \)

\( =< 2\begin{pmatrix} 1\\0 \end{pmatrix}-3\begin{pmatrix} 0\\1 \end{pmatrix}, -\begin{pmatrix} 1\\0 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 0\\1 \end{pmatrix}> \)

\( =< 2\begin{pmatrix} 1\\0 \end{pmatrix},-\begin{pmatrix} 1\\0 \end{pmatrix}  >+ <-3\begin{pmatrix} 0\\1 \end{pmatrix}, -\begin{pmatrix} 1\\0  \end{pmatrix}>\)

                                \(+< 2\begin{pmatrix} 1\\0 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 0\\1 \end{pmatrix}  >+ <-3\begin{pmatrix} 0\\1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0\\1  \end{pmatrix}> \)

\( =-2< \begin{pmatrix} 1\\0 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 1\\0 \end{pmatrix}  > +3<\begin{pmatrix} 0\\1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1\\0  \end{pmatrix}>\)

                                \(+2< \begin{pmatrix} 1\\0 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 0\\1 \end{pmatrix}  >-3 <\begin{pmatrix} 0\\1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0\\1  \end{pmatrix}> \)

\( =-2< \begin{pmatrix} 1\\0 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 1\\0 \end{pmatrix}  > +3\cdot 0+2\cdot 0-3 <\begin{pmatrix} 0\\1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0\\1  \end{pmatrix}> \)

\( =-2< \begin{pmatrix} 1\\0 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 1\\0 \end{pmatrix}  >-3 <\begin{pmatrix} 0\\1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0\\1  \end{pmatrix}> \)

Da aber \( < \begin{pmatrix} 1\\0 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 1\\0 \end{pmatrix}  >\) und \( <\begin{pmatrix} 0\\1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0\\1  \end{pmatrix}> \)

beide positiv sein müssen, ist die Summe negativ, also nicht gleich 0. Widerspruch!

So ein Skalarprodukt gibt es also nicht.

Comments

Sehr erklärend, vielen Dank

Answer 2

Ich würde hier über die Gram-Matrix bzgl. der kanonischen Basis \(e_1,e_2\) gehen:

Jedes SKP auf \(\mathbb R^2\) ist eineindeutig durch die symmetrische positiv definite Matrix \(G=(\varphi(e_i,e_j))\) festgelegt.

Damit gilt für das SKP \(\varphi\) in der kanonischen Basis:

\(\varphi(x,y) = x^TGy\).

Für den \(\mathbb R^2\) sieht die Gram-Matrix so aus:

\(G = \begin{pmatrix} a & b \\ b & c \end{pmatrix}\) mit \(a>0\) und \(ac-b^2>0\)

(a)

\(\varphi(e_1,e_2)= e_1^TGe_2 = b\stackrel{!}{=}0 \Rightarrow G = \begin{pmatrix} a & 0 \\ 0 & c \end{pmatrix}\)

\(\begin{pmatrix} 2 & -3 \end{pmatrix}G\begin{pmatrix} -1\\1 \end{pmatrix} =-2a-3c \stackrel{!}{=}0 \Rightarrow G = a\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -\frac 23 \end{pmatrix}\)

Damit kann \(G\) nicht positiv definit sein. Es gibt also kein gewünschtes SKP.

(b)

Eine analoge Rechnung wie in (a) ergibt:

\(G = a\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & \frac 23 \end{pmatrix}\)

Damit \(G\) positiv definit ist, muss \(a>0\) gelten. Das sind alle gesuchten SKP.

(c)

Ich gehe davon aus, dass es sich hier um die vom SKP induzierte Länge handelt:

\(||x||_{\varphi'}^2 = \varphi'(x,x)\)

Du bestimmst \(a\) so, dass

\(\varphi'(e_1,e_1) = 3\)
Den Rest kannst du bestimmt selber.

Comments

ich erinnere mich nicht, dass diese Methode im Vorlesung gelehrt wurde. Ich werde ein wenig mehr recherchieren und versuchen, Ihre Lösung zu verstehen, Vielen Dank für Ihre Hilfe

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Da musst du nicht viel recherchieren.

Du schreibst

\(x=x_1e_1+x_2e_2\) und \(y=y_1e_1+y_2e_2\)

und setzt das ein in

\(\varphi(x,y) = ...\) Bilinearität von \(\varphi\) nutzen \( ...= x^T\underbrace{(\varphi(e_i,e_j) )}_{=G}y\)

Offenbar ist \(G\) symmetrisch und da \(\varphi(x,x)>0\) für \(x\neq 0\) gelten muss, muss \(G\) positiv definit sein.