Skalarprodukt im R^n. Beweis einer Ungleichung.

Question

Wieso gilt für das Skalarprodukt:

$$\langle Ax,x\rangle > \langle Ax,y\rangle \textrm{ wenn } x \neq y$$

Brauche diesen Zusammenhang für eine Beweis.

:)

Comments

Das gilt wohl nicht.

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Zu zeigen ist folgendes:

$$J(x) := \frac{1}{2}\langle Ax,x\rangle - \langle b,x\rangle$$

ist strikt konvex, also:

$$(1-t)J(x)+tJ(y)\geq J((1-t)x+ty) \textrm{ für alle } x,y \in \mathbb{R}^d \textrm{ und alle } t \in \; ]0;1[$$

Das habe ich umgeformt zu:

$$\langle Ax,y \rangle +\langle Ax,y \rangle -\langle Ax,x \rangle -\langle Ay,y \rangle \leq 0$$

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Warum hast du da kein t mehr in deiner Ungleichung?

t soll wohl eine Zahl aus dem Intervall zwischen 0 und 1 sein. Oder?

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Ja t liegt zwischen 0 und 1 (nimmt aber keinen der Werte an).

Ich habe kein t mehr in meiner Gleichung, weil ich es rauskürzen konnte.

Vielleicht gibt es aber auch eine andere Möglichkeit den Beweis zu machen, ich weiß es nicht.

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Soll \(A\) vielleicht positiv definit sein?

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Mein Fehler. Das hätte ich vielleicht schreiben sollen...

A ist positiv definit und symmetrisch!

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Wer auch immer meinen Fragetitel geändert hat, wir sind NICHT im R^4, sondern im R^n

Answer 1

Vielleicht hilft der Ansatz \(\langle x-y,A(x-y)\rangle>0\) für \(x\ne y\) weiter.

Comments

EDIT: @Loewe1000. Danke für den Hinweis. Das war ich. Ich sehe dass ich das nicht genau gelesen hatte. Ich sehe allerdings in deinem Kommentar R^d.

Die Überschriften sollten so aussagekräftig wie möglich sein, damit Duplikate nicht doppelt und dreifach beantwortet werden. Es gibt einige Leute, die schon viele Stunden auf Antworten warten.

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Ich weiß leider nicht wie ich von:

$$\langle Ax,y \rangle +\langle Ax,y \rangle -\langle Ax,x \rangle -\langle Ay,y \rangle \leq 0$$ auf  $$\langle x-y,A(x-y)\rangle>0$$ kommen soll...
@Lu Das klingt logisch. Werde nächstes Mal versuchen einen aussagekräftigeren Titel zu finden! :)

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Loewe1000: Vielleicht ist es für dich ein Kinderspiel von der zweiten Ungleichung in deinem Kommentar auf die erste zu kommen (?)

Danach: Umformungskette umdrehen.

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Danke, das sieht tatsächlich einfacher aus! :D

Dann bleibt mir nur noch die Frage ob

$$\langle x-y,A(x-y)\rangle>0$$ gilt, da A positiv definit ist?

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Das fände ich eigentlich logisch (?)

Ich nehme mal an, ein Skalarprodukt ist kommutativ. Ansonsten: Warum nicht:

$$\langle A(x-y),x-y \rangle>0$$

statt

$$\langle x-y,A(x-y)\rangle>0$$

?

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Ein Skalarprodukt ist auf jeden Fall kommutativ, aber ich verstehe nicht, wieso

$$\langle A(x-y),x-y\rangle>0$$

das Problem vereinfacht.

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Wäre $$\langle Am,m\rangle>0$$ denn sicher, wenn m≠0 ? 

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Manchmal steht man auf dem Schlauch... !!

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Bitte. Gern geschehen! Ist nun die Frage erledigt?

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Ja, die Frage ist geklärt! :)