Skalarprodukt: Bestimmen Sie eine Basis von V . Bestimmen Sie eine Basis von {p ∈ V | p(1)=0}

Question

Aufgabe - Skalarprodukt:

Sei \( V:=\left\{p:[0,1] \rightarrow \mathbb{R}: x \mapsto a x^{2}+b x+c \mid a, b, c \in \mathbb{R}\right\} \) der Raum aller Polynome auf \( [0,1] \) mit Grad maximal 2. Sei auf \( V \) das Skalarprodukt \( \langle p \mid q\rangle:=\int \limits_{0}^{1} p(x) q(x) \mathrm{d} x \) für \( p, q \in V \) definiert. Seien \( p_{1}, p_{2}, p_{3} \in V \) definiert durch \( p_{1}(x):=x^{2}+x, p_{2}(x):=x-1 \), \( p_{3}(x):=x^{2}+2 x+1 \)

(a) Bilden \( p_{1} \) und \( p_{3} \) eine Basis für \( V \)?

(b) Bestimmen Sie eine Basis von \( V \). Bestimmen Sie eine Basis von \( \{p \in V \mid p(1)=0\} \).

(c) Bestimmen Sie die Skalarprodukte \( \left\langle p_{1} \mid p_{2}\right\rangle,\left\langle p_{1} \mid p_{1}\right\rangle \) und \( \left\langle p_{2} \mid p_{2}\right\rangle \). Entscheiden Sie mittels der Schwarzschen Ungleichung, ob \( p_{1} \) und \( p_{2} \) linear abhängig sind.

Answer 1

a)  eine Basis bilden sicher   x²   und   x   und 1,
also ist dim=3 also kann p1 und p3 keine Basis sein.
b)  (i) s.o.    meine drei polynome erzeugen V offenbar und sind lin.unabh.,
                    p(1) = 0  heisst a+b+c=0 also c=-a-b
Dann sehen die Polynome so aus   ax² + bx  -a  -  c  =  a(x²-1)  +   b(x-1)
die werden erzeugt von  x²-1   und  x-1, diese beiden sind auch lin. unabh.
bilden also eine Basis von ....
c.   <p1 | p2 >  =  Int. von o bis 1 über p*q
             also Int von o bis 1 über  (x²+x)*(x-1)
gibt  x³ +x² -x² - x = x³ - x
also gibt das Integral -1/4  also <p1 | p2 > =-1/4
und so fort