Skalarprodukt und ON-Basis

Question

Fuer Spaltenvektoren x, y ∈ R^n ist x^Ty = ⟨x; y⟩ = \( \sum\limits_{}^{}{xiyi} \)   das Standardskalarprodukt.
Zeigen Sie, dass fur Q ∈ R^nxn die Bedingung
Q^TQ = I_n
aquivalent ist zu jeder der folgenden:
1. QQ^T = I_n.
2. Die Spalten von Q bilden eine ON-Basis.
3. Fur alle x; y ∈ Rⁿ gilt ⟨Qx , Qy⟩ = ⟨x , y⟩

Teil 1) habe ich hinbekommen. Ich brauch e Hilfe fuer 2) und 3).

Answer 1

Also du hast 1) <==> 2) zeigen können ?

Für 2) ==> 3) könnte es so gehen:

Seien q₁ , … , q_n die Spalten von Q.

Die bilden also eine ON-Basis -

Seien nun x=(x₁,...x_n)^T und y=(y₁,...y_n)^T aus R^n .

==> Qx = ∑qi*xi und    Qy = ∑q_j*y_j

_{(Die Summen gehen alle von 1 bis n )}

==> <Qx , Qy> = <∑qi*xi   ,  ∑qi*yi >

          = ∑∑ <qi,qj>xi*yj

wegen der ON-Basis sind die Skalarprodukte für

verschiedene Indices 0 und für gleiche 1, es bleiben also

nur die Produkte nur gleichen Indices

         =∑xi*yi    =  <x,y> .

Für die Rückrichtung betrachte für x und y die Standardeinheitsvektoren.

Comments

Vielen Dank für deine Antwort
Wie kann ich zeigen, dass die Spalten von Q eine ON-Basis bilden?

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Seien q1 , … , qn die Spalten von Q.

und du weißt : Fur alle x; y ∈ R^n gilt ⟨Qx , Qy⟩ = ⟨x , y⟩.

Nimm z.B. x=y=e1 (1. Standardeinheitsvektor

Dann gilt ⟨Qx , Qy⟩ = ⟨e1 , e1⟩ = 1

               <=> <q1,q1> = 1

Also hat schon mal q1 die Länge 1.

Ist nun e_i ein anderer (i≠1) Einheitsvektor, dann ist ja

Q*ei = qi die i-te Spalte von i also liefert

⟨Qe1 , Qei⟩ = ⟨e1 , ei⟩ = 0

<=> <q1,qi> =   ⟨e1 , ei⟩ = 0

Allgemein mit ej statt e1 bekommst du dann:

Jede Spalte hat mit sichj selbst das Skalarprodukt 1

und mit jeder anderen 0 und es sind n Stück,

also bilden sie eine ON-Basis von R^n .