Parallelogrammgleichung beweisen für \| a + b \|^2 + \| a - b \|^2 = 2 \| a \|^2 + 2 \| b \|^2

Question

Sei \( \| \cdot \| \) die durch ein Skalarprodukt auf \( V = \mathbb{R}^n \) definierte Norm. Man beweise die Parallelogrammgleichung
\( \| a + b \|^2 + \| a - b \|^2 = 2 \| a \|^2 + 2 \| b \|^2 \)
für alle \( a, b \in V \).

Comments

Welcher Zusammenhang besteht zwischen \(\|x\|^2\) und dem Skalarprodukt?

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Hallo

du musst einfach nur die linke Seite ausrechnen.

Gruß lul

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Man findet den Beweis unzählige Male im Netz.

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War es wirklich so einfach *-* 

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Ist es oft. Man muss nur einfach mal angefangen, mit den Definitionen und Eigenschaften aus der Vorlesung zu arbeiten, sprich, sich mit seinen Unterlagen auseinandersetzen.

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\( \| a + b \|^2 + \| a - b \|^2 = (a \cdot a + 2a \cdot b + b \cdot b) + (a \cdot a - 2a \cdot b + b \cdot b) \)
\( \| a + b \|^2 + \| a - b \|^2 = 2a \cdot a + 2b \cdot b \)

 \( 2 \| a \|^2 + 2 \| b \|^2 = 2(a \cdot a) + 2(b \cdot b) = 2a \cdot a + 2b \cdot b \)

Da \( \| a + b \|^2 + \| a - b \|^2 = 2 \| a \|^2 + 2 \| b \|^2 \), haben wir somit gezeigt, dass die Parallelogrammgleichung für die Norm \( \| \cdot \| \) in \( \mathbb{R}^n \) gilt q.e.d.

Können Sie mir als Kommentar die Antwort schicken, ich habe es nicht geschafft

Answer 1

In deinem letzten Kommentar hast du doch den Beweis formuliert !