Komplexe Parallelogrammgleichung zeigen

Question

ich komme bei folgender Aufgabe nicht weiter.

Seien z und w beliebig aus C

Zeigen sie die Parallelogrammgleichung:

|z+w|^2 + |z-w|^2 = 2(|z|^2 + |w|^2)

Jetzt habe ich mir überlegt das ich für z und w komplexe zahlen einsetze wie z = 2+3i und w = 5+2i

Aber dann erhalte ich doch auf der linken Seite etwas das nicht mit der rechten Übereinstimmt ? Wäre sehr dankbar wenn mir jemand weiterhellfen könnte.Achja eine allgemeine Frage,wenn in der Aufgabenstellung steht "zeigen sie", reicht es das dann werte einzusetzen und ein Beispiel anzuführen oder muss man das ganze dann ebenfalls beweisen ?

Vielen Dank im Voraus :)

Answer 1

reicht es das dann werte einzusetzen und ein Beispiel anzuführen oder muss man das ganze dann ebenfalls beweisen ?

Nein,das reicht nicht. Selbst wenn du 1000 Beispiele findest, für die es richtig ist, kann man eventuell noch ein Gegenbeispiel finden. Du musst es für alle komplexen Zahlen beweisen.

Verwende die Rechenregeln für komplexe Zahlen und die Definition des Betrags. Der Beweis ist z.B auch unter

https://de.wikipedia.org/wiki/Parallelogrammgleichung#Anwendung_f%C3%BCr_komplexe_Zahlen

zu finden.

Comments

@jc2144: Ich habe soeben bei allen alten Fragen mit Bild statt Text die Flags entfernt, da wohl niemand von den Redakteuren Zeit hat, diese noch in einen Text umzuwandeln und der Fragesteller die Flags nicht zur Kenntnis genommen hat. Sollte doch noch ein Text kommen, können meine Antworten in Kommentare umgewandelt werden.

Answer 2

Aber dann erhalte ich doch auf der linken Seite etwas das nicht mit der rechten Übereinstimmt ?

Kontrolle der Behauptung mit

https://www.wolframalpha.com/input/?i=%7Cz%2Bw%7C%5E(2)+%2B+%7Cz-w%7C%5E(2)+%3D+2(%7Cz%7C%5E(2)+%2B+%7Cw%7C%5E(2))

Da hast du irgendetwas falsch gerechnet.

Du solltest kein Gegenbeispiel finden können.

Comments

hmm angenommen z = 2+3i und w = 5+2i

der betrag von z wäre ja = Wurzel aus 4+9 = Wurzel 13 wenn wir das quadrieren würde ja  nur die 13 rauskommen aber im linken Teil von der Gleichung steht doch ein minus dann würden wir ja die beträge abziehen.Oder spielt das minus keine Rolle weil wir quadrieren ? Bin leicht verwirrt die Definition von den Beträgen kenne ich ja

---

z = 2+3i und w = 5+2i

|z|^2 = 4+9

|w|^2 = 25 + 4

z+w = 7 + 5i

z-w = -3 + i

|z+w|^2 = 49 + 25
|z-w|^2 = 9 +1 

Nun 2(13 + 29) = ?

und 49 + 25 + 9 + 1 = ?

Oder spielt das minus keine Rolle weil wir quadrieren ?

(-3)^2 = 9

Answer 3

  Oh medischer Mager;

    |  z + w |  ²  =  (  z  +  w  )  (  z  *  +  w  *  )     =    (  1a  )

   =  |  z  |  ²  +  |  w  |  ²  +  z  w *   +  w  z *       (  1b  )

    Jetzt machst du   das Analoge für    z  -  w  ;  und dann hebt sich der Kreuzterm weg.