Beweis der Parallelogrammgleichung und ihre geometrische Interpretation

Question

Sei \( \|x\|:=\sqrt{\langle x, x\rangle} \) für alle \( x \) im Vektorraum \( V \). Beweisen Sie die Parallelogrammgleichung:
\( \|x+y\|^{2}+\|x-y\|^{2}=2\|x\|^{2}+2\|y\|^{2} \quad \forall x, y \in V \)

Veranschaulichen Sie, welche geometrische Bedeutung diese Gleichung im \( \mathbb{R}^{2} \) besitzt.

Answer 1

Das ist eine stupide Rechenaufgabe. Nutze die Linearität des Skalarprodukts aus und natürlich die Gleichung \(||x||^2=\langle x,x\rangle\). Beginne also mit der linken Seite $$||x+y||^2 + ||x-y||^2 = \langle x+y,x+y\rangle + \langle x-y,x-y\rangle= ...$$

Übrigens findet man die Lösungen zu solchen Standardbeweisen zu Hauf im Netz. Man müsste nur mal etwas Eigeninitiative ergreifen.

Answer 2

Hallo

a) du musst doch nur die entsprechenden Skalarprodukte ausrechnen?

b) Was dein Prof unter Veranschaulichen meint ist unklar, wohl ja nicht einfach die 4 Quadrate an das Parallelogramm malen?

also wohl eine Art Beweis an Hand der Zeichnung, nenn den spitzen Winkel im P φ dann sagt der cos Satz : D1^2 a^2+b^2-2abcos(φ) der zweite Winkel ist 180-φ damit hat man D2^2=a^2+b^2-2abcos(180-φ)=a^2+b^2+cos(φ)  daraus durch Addition der 2 Gleichungen den Parallelogramm Satz.

Gruß lul