Parallelogrammgleichung beweisen

Question

kann mir einer erklären, was hier genau gemacht werden soll? Wäre echt lieb, wenn mir einer hilft ich verstehe nicht, wie ich vorgehen soll..

!!

Es seien n∈ℕ, sowie x, y ∈ ℝⁿ. Beweisen Sie die Parallelogrammgleichung

IIx+yII² + IIx-yII² = 2 IIxII² + 2 IIyII²

und interpretieren Sie die Gleichung für den Fall n = 2 geometrisch.

Answer 1

||x+y||^2 + ||x-y||^2 = <x+y,x+y> + <x-y,x-y>

Verwende hier das Skalarprodukt. Das ist bilinear, du kannst das also schrittweise auseinander ziehen und erhältst:

<x+y,x+y> + <x-y,x-y> = 2<x,x,> + 2<y,y>

= 2||x||^2 + 2||y||^2

Für die Anschauung: zeichne dir ein Parallelogramm und interpretiere zwei nicht parallele Seiten als Vektoren x,y,

Dann sind x+y, x-y die Diagonalen. Das heißt: Die Summe der Diagonalenquadrate entspricht der doppelten Summe der Seitenquadrate.