Variationsproblem Minimierung von \int \limits_{0}^{1}(f(t)')^2+3 *(f(t)')^3 dt

Question

ich habe eine Minimierungsaufgabe (Variationsproblem):

Aufgabe:

Man soll zeigen, dass das Variationsproblem

$$\int \limits_{0}^{1}(f(t)')^2+3 *(f(t)')^3 dt$$ →min für f ∈ C² [0,1] mit f(0) = f(1) = 7 keine Lösung besitzt

und die eindeutige Lösung der Euler-Lagrange-Differentialgleichungen des Variationsproblems berechnen.

Problem/Ansatz:

$$\int \limits_{0}^{1}(f(t)')^2+3 *(f(t)')^3 dt$$ = \( \int\limits_{a}^{b} \) F(t, x(t), x(t)') dt

F(t,p,q) = q² + 3 · q³

\( \frac{dF}{dp} \) = 0

\( \frac{dF}{dq} \) = 2q + 9q²

0 - \( \frac{d}{dx} \) (2q + 9q²) = 0 - \( \frac{d}{dx} \) (2f(x)' + 9(f(x)')²) = 0

= -2f(x)'' - 18f(x)' · f(x)''

-2λ² - 18λ³ = 0

λ = - \( \frac{1}{9} \)

Ich bin mir nicht sicher, ob der Ansatz so richtig ist. Wie geht es weiter?

Comments

beziehungsweise habe ich auch Folgendes:

2q + 9q²  muss eine Konstante sein, da es nach dem Ableiten 0 ist

2x(t)' + 9(x(t)')² = c

gelöst nach x(t)' sieht man dass x(t)' eine Konstante ist und daher muss x(t) eine Gerade sein mit x(t) = k * t + d

für x(0) = 7 erhält man d=7

und für x(1) = 7 erhält man k=0

Was bedeutet dies nun?