Sei V ein Vektorraum über einen Körper K & seien f,g: V -> V Endomorphismen in V.
Man definiere die Komposition • mit
•: L(V,V) -> L(V,V) von Endomorphismen.
Satz: Sei dim(V) < ∞, so haben die Kompositionen f•g und g•f dieselben Eigenwerte.
Beweis. Definiere χ(f•g), χ(g•f) mit
χ(f•g)(t):= det(f•g-t*id) und
χ(g•f):= det(g•f-t*id) als die charakteristische Polynome von f•g bzw. g•f.
Sei zuerst 0 der Eigenwert von f•g, dann ist 0 eine Nullstelle des charakteristischen Polynoms χ(f•g). Es gilt also χ(f•g)(0) = det(f•g) = det(f)det(g) = 0. Also ist 0 auch eine Nullstelle von χ(g•f), da auch
χ(g•f)(0) = det(g)det(f) = det(f)det(g) = 0 gilt. Damit ist 0 auch ein Eigenwert von g•f.
Sei λ ∈ K \ {0} ein Eigenwert von f•g. Dann gibt es ein Eigenvektor v ∈ V \ {0} sodass (f•g)(v) = f(g(v)) = λv gilt. Dann gilt auch g(f(g(v))) = g(λv) = λ g(v), da g linear ist und somit ist λ auch ein Eigenwert von g•f zum Eigenvektor g(v) ∈ V \ {0}.
Ist mein Beweis richtig?
