Beweisaufgabe zu Eigenwerten

Question

Aufgabe:

Sei A regulär, komplexe nxn matrix und mit A^2 ähnlich, so ist 1 der einzige eigenwert

Problem/Ansatz:

Die Aufgabe check ich irgendwie nicht.

Mein grober Ansatz :

Ist y ein Eigenwert so gilt für alle v(muss man 0 ausschließen?)

Av=yv

Bei A^2 kriegt man ja

A*Av= Ayv=yAv=y^2* v, oder?

Dann müsste ja y=y^2 sein, aber die Lösung sagt nur y - > y^2 aber nicht umgekehrt, das check ich nicht. Außerdem sollen insgesamt 0,1,-1 in Frage kommen, das wäre bei meiner gleichung nicht.

Vllt kann mir das jemand erklären..

Comments

Sollst Du die Behauptung beweisen oder prüfen?

Answer 1

Hallo :-)

Nutze aus, dass ähnliche Matrizen die gleichen Eigenwerte haben.

Comments

Hallo hallo97, genau so würde ich auch argumentieren,
habe aber peinlicherweise das Problem, dass ich nicht
sehe, weshalb die zugehörigen Eigenvektoren dieselben sind.
Könntest du mir einen Tipp geben?

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Hallo,

ich hänge an folgendem Beispiel: Sei \(z:=exp(\frac{2\pi}{3}i)\), also \(z^3=1, z^4=z\). Setze

$$A:=\begin{pmatrix} z&0\\0&z^2 \end{pmatrix}, \text{  also } A^2=\begin{pmatrix} z^2&0\\0&z \end{pmatrix} \text{  und }\quad T:=\begin{pmatrix} 0&1\\1&0\end{pmatrix}$$

Dann sind \(A,A^2\) ähnlich, vermöge \(T\).

Oder habe ich mich verrechnet??

Gruß Mathhilf

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Oder habe ich mich verrechnet??

@Mathhilf: Ich sehe keinen Fehler und finde daher,
dass das ein sehr schönes Gegenbeispiel ist.

Hier zeigt sich auch das Phänomen, das ich "befürchtet"
habe: dass nämlich die Eigenvektoren nicht dieselben sind,
sondern gewechselt werden.

Gruß ermanus

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Das ist ja alles richtig; dennoch kann man daraus nicht schließen,

dass 1 der einzige Eigenwert ist.

Das hat Mathhilf doch mit seinem Gegenbeispiel gezeigt.

Dort gilt für die Eigenwertmengen

\(\{z,z^2\}=\{z^2,z\}\). Aber es ist nicht \(z=z^2\).

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Ja, das stimmt. Habe mich da leider vertan.