Aufgabe:
Ich möchte nachweisen, dass es sich bei der Funktion
$$ \psi(x) = \Biggl\{ \begin{matrix} -\frac{1}{\sqrt{-x}} & \text{für } x \le -1 \\ x & \text{für } -1 \le x \le 1 \\ \frac{1}{\sqrt{x} } & \text{sonst} \end{matrix} $$
um ein Wavelet handelt.
Problem/Ansatz:
Zunächst möchte ich die Fourier-Transformierte berechnen. Dafür löse ich das Integral
$$ \hat{\psi}(\omega) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi} } \int\limits_{-\infty}^{\infty} \psi(x)e^{-i \omega x}dx = \frac{1}{\sqrt{2 \pi} } \bigl( \int\limits_{-\infty}^{-1} - \frac{1}{\sqrt{-x} }e^{-i \omega x}dx + \int\limits_{-1}^{1}xe^{-i \omega x}dx + \int\limits_{1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{x} }e^{-i \omega x}dx \bigl) $$
Ich verstehe nicht wie ich die Integrale
$$ \int\limits_{1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{x} }e^{-i \omega x}dx $$ und $$ \int\limits_{-\infty}^{-1} - \frac{1}{\sqrt{-x} }e^{-i \omega x}dx $$ lösen kann.
Ich habe auch versucht das linke Integral umzuformen:
$$ \int\limits_{-\infty}^{-1}\frac{-1}{\sqrt{-x} }e^{-i \omega x}dx = \int\limits_{1}^{\infty} \frac{-1}{\sqrt{x} }e^{-i \omega (-x)}dx = -\int\limits_{1}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{x} }e^{i \omega x}dx $$
Damit kann ich die Integrale an den Seiten zusammenfügen
$$ \int\limits_{1}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{x} }e^{-i \omega x}dx - \int\limits_{1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{x} }e^{i \omega x} dx = \int\limits_{1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{x} }(e^{-i \omega x} - e^{i \omega x})dx = -2i \int\limits_{1}^{\infty} \frac{\sin(\omega x)}{\sqrt{x} }dx $$
Aber auch mit diesem Integral habe ich Probleme. Vielleicht gibt es aus der Funktionentheorie Methoden diese Integrale zu lösen? Oder gibt es vielleicht andere Wege, um zu prüfen, ob es sich um ein Wavelet handelt, ohne diese Integrale zu berechnen?
