Spiegel von Viganella

Question

Aufgabe:

Ein Tal in den Bergen wird nach Westen von einer steilen Felswand, nach Osten von einem flachen Höhenzug begrenzt. Der Querschnitt des Geländes wird beschrieben durch das Schaubild der Funktion f mit

f(x) = -0,125x^3 + 0,75x^2 - 3,125 im Bereich -2,5 ≤ x ≤ 5,

dabei weist die positive x-Achse nach Osten (1 LE entspricht 100 m). Die Funktion f besitzt die Nullstellen x₁ ≈ -1,8 und x₂ ≈ 2,8 und x₃ = 5.

d) In der Talsohle befindet sich ein Dorf, das bereits nachmittags im Schatten liegt. Nach dem Vorbild des italienischen Ortes Viganella soll auf dem höchsten Punkt des Höhenzugs östlich des Dorfes ein Gerüst mit einem drehbaren Spiegel zur Reflexion von Sonnenlicht aufgestellt werden. Auch hier wird der Querschnitt des Geländes durch das Schaubild der Funktion f beschrieben. Bestimme die Mindesthöhe dieses Gerüstes, bei der das Sonnenlicht den tiefsten Punkt des Gelän-dequerschnitts erreichen kann.

e) Bestimme, wie hoch das Gerüst werden muss, damit der gesamte Geländequerschnitt zwischen Dorf und Gerüst beleuchtet werden kann.

f) Da die Funktion lediglich ein Abbild im zweidimensionalen Raum darstellt müssen sich die Planer Gedanken über verschiedene Ebenen im Raum und deren Lage zueinander machen. Dabei sollen allgemein verschiedene Ansätze beschrieben werden, wie man die Lagebeziehung zweier Ebenen abhängig von den Darstellungsformen der Ebenen untersuchen kann. Diskutiert werden sollen auch die Vor- und Nachteile im Zusammenhang zur Darstellungsform.

Problem/Ansatz:

Ich verstehe die Aufgaben gar nicht. Können Sie mir bitte helfen? Ich hab noch zwei Tage Zeit. Ich kann Garmichts…Vorallem d)??

Comments

Ich kann Garmichts…

Das ist weniger als wenig.

Mach dir eine Skizze!

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Mach dir eine Skizze!

so eine wie diese hier:

https://www.desmos.com/calculator/uefnfffcig

die gesuchte Höhe ist blau markiert.

Verstehst Du die Aufgabe d) jetzt?

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Bild zu d) Spiegel bei D

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https://abiturma.de/mathe-lernen/analysis/tangenten/tangente-durch-fernpunkt

Answer 1

Wenn ein reflektierter Sonnenstrahl vom Spiegel bis zum tiefsten Punkt

im Tal reicht, also vom Punkt (4;h) zu (0;-3,125) und h möglichst klein sein

soll, dann geht das so gerade, wenn dieser Strahl

- wie in den Skizzen angegeben -

durch die Tangente in einem Punkt (u;f(u) ) an den Graphen von f

repräsentiert wird.

Auf der Zeichnung ablesbar ist ungefähr u=3.

Berechnung mit der allg. Tangentengleichung im Punkt (u;f(u)) :

t(x)= f'(u) * (x-u) + f(u)

Die Tangente soll durch (0 ; -3,125) gehen, also gilt

-3,125 =   f'(u) * (0-u) + f(u)

Hier nun f'(u) und f(u) einsetzen gibt

-3,125 =  (-0,375u^2 +1,5u) * (-u)   -0,125x^3+0,75x^2-3,125

<=> 0 = 0,25u^3 -0,75u^2

<=>  0 = 0,25u^2( u-3)

Für u=0 hätte man die Tangente im Punkt (0;-3,125), die nicht interessiert,

also ist der gesuchte Wert für u eben u=3.

Dann ergibt sich aus t(x)= f'(u) * (x-u) + f(u)

die Gleichung t(x)= 1,125 * (x-3) + 0,25. Und der Punkt für

den Spiegel liegt ja bei x=4 also berechne t(4) =1,125+0,25=1,375

Und wegen f(4)=0,875 ist der Punkt für den Spiegel um 0,5 höher

als die Spitze des Ostgipfels, also muss das Gerüst mindesten

0,5 Längeneinheiten hoch sein, das wären 50m.

Comments

Warum wartest du mit einer vollständigen Lösung der Aufgabe nicht, ob der Fragende auf den Hinweis reagiert? wenigstens eine Rückfrage?

lul

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Mal habe ich Zeit für so was und eine Idee dazu und mal auch nicht.

Der pädagogische Eros fehlt mir da ein wenig.

Answer 2

d) In der Talsohle befindet sich ein Dorf, das bereits nachmittags im Schatten liegt. Nach dem Vorbild des italienischen Ortes Viganella soll auf dem höchsten Punkt des Höhenzugs östlich des Dorfes ein Gerüst mit einem drehbaren Spiegel zur Reflexion von Sonnenlicht aufgestellt werden. Auch hier wird der Querschnitt des Geländes durch das Schaubild der Funktion f beschrieben. Bestimme die Mindesthöhe dieses Gerüstes, bei der das Sonnenlicht den tiefsten Punkt des Geländequerschnitts erreichen kann.

Lege durch den Tiefpunkt der Funktion eine Tangente an die Funktion. Die Differenz der Funktionswerte von Funktion und Tangente an der Stelle des Hochpunkktes ist die gesuchte Mindesthöhe. Man kann den Wert nahezu schon mit 0.5 LE = 50 m ablesen.

e) Bestimme, wie hoch das Gerüst werden muss, damit der gesamte Geländequerschnitt zwischen Dorf und Gerüst beleuchtet werden kann.

Hier solltest du die Wentetangente aufstellen. Auch hier ist die Differenz der Funktionswerte von Funktion und Tangente an der Stelle des Hochpunkktes ist die gesuchte Mindesthöhe.

Auch hier kannst du grafisch die Mindesthöhe mit 1 LE = 100 m schon gut bestimmen.

f) ... Dabei sollen allgemein verschiedene Ansätze beschrieben werden, wie man die Lagebeziehung zweier Ebenen abhängig von den Darstellungsformen der Ebenen untersuchen kann. ...

Hier sollst du allgemein beschreiben, wie du die Lagebeziehung zweier Ebenen in Abhängigkeit der Darstellungsform (Parameterform, Koordinatenform, ...) untersuchst. Gehe auch auf vor und Nachteile der Form der Ebene ein.

Comments

Ich empfehle immer sich Skizzen anzufertigen, an denen man den Sachverhalt auch erkennen kann.

Das gilt wenn möglich, natürlich für ALLE Aufgabenteile.