Hermitesche Matrix Eigenwerte 1 und -1, wenn sie LK aus Paulimatrizen mit K0effizentenvektornorm = 1 hat

Question

wie kann ich folgende Äquivalenz zeigen:

Eine Hermitesche Matrix σ ∈ ℂ^2x2 hat genau dann die Eigenwerte 1 und −1,

wenn sie eine ℝ Linearkombination α_xσ_x+α_yσ_y+α_zσ_z der Pauli-Matrizen σ_x+σ_y+σ_z ist, deren Koeffizientenvektor

(α_x,α_y,α_z)∈ℝ³ die Norm 1 hat.

Dabei ist σ_x = \( \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \)

σ_y = \( \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \)

σ_z = \( \begin{pmatrix} 0 & -i \\ i & 0 \end{pmatrix} \)

Comments

diese Richtung habe ich bereits:

⇐:

det(XI-σ) = X² - (α_x²+α_y²+α_z²)

der Minusterm in Klammern muss nach Voraussetzung = 1, somit bleiben +1 und -1 als Eigenwerte für X übrig um die Eigenwertgleichung det(XI-σ) = 0 zu erfüllen.

die andere Richtung verstehe ich leider nicht

Answer 1

Schön, dass Du schon eine Richtung hast. Übe das geordnete, präzise Aufschreiben (d.h. kein langes Gerede, keine stümperhafte Ausdrücke wie "Minusterm" usw.).
Zu \(\implies\): Da die EW \(\pm 1\) sind, muss das char. Polynom \(x^2-1\) sein. Setze eine allg. hermitesche Matrix an, benutze die Bed. für das char. Polynom, rechne etwas herum und lande bei der Form, die Du schon aus der anderen Richtung kennst (aber nicht hingeschrieben hast).

Comments

das lange Gerade habe ich verwendet, da beim Kopieren die Formatierung der Indizes verrutscht und ich zu faul war alles wieder händisch schreiben zu müssen.

Für ⇐ hätte ich folgenden Ansatz:

Wir wissen:

σ = \( \begin{pmatrix} a & b* \\ b & c \end{pmatrix} \)

Wir wissen:

Summe der Eigenwerte = Summe der Diagonalelemente

d.h. 1-1 = a+c also a=-c

Wir wissen:

Es gibt Pauli-Matrizen σ_x σ_y σ_z mit Definition von oben.

Nun sehen wir, dass wir die Pauli-Matrizen so kombinieren können, um σ darstellen zu können, also

σ = α_xσ_x+α_yσ_y+α_zσ_z

Nun verwende ich die gleiche Methode wie zuvor:

Wir berechnen das charakteristische Polynom bzw. die Eigenwertgleichung:

χ = det(XI-σ) = X²- (α_x²+α_y²+α_z²) = 0

Wir wissen:

Die Eigenwerte von σ sind +1 und -1

Damit die Eigenwertgleichung erfüllt werden kann muss (α_x²+α_y²+α_z²) = 1 sein.

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Nun sehen wir, dass wir die Pauli-Matrizen so kombinieren können, um σ darstellen zu können, also

σ = αxσx+αyσy+αzσz

Nein, das sehen wir eben nicht. Das ist zu zeigen.

Ich hab Dir oben die nötigen Schritte erklärt. Halte Dich genau an die Reihenfolge, dann geht auch logisch nichts schief.

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wenn wir das charakteristische Polynom einer allgemeinen hermiteschen Matrix \( \begin{pmatrix} a & b* \\ b & c \end{pmatrix} \) (* ... konjugiert komplex) berechnen, komme ich auf

X²-Xa-Xc+ca-b*b

es muss gelten X²-1=0

d.h Xa+Xc-ca+b*b muss = 1 sein?

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Nein. Polynome vergleicht man mit Koeffizientenvergleich. Aber da bist Du noch nicht. Das ist Schritt 2. Schritt 1 lautet: Setze eine allg. herm. Matrix an. Schlag nach, was das bedeutet. Danach gehen wir zum char. Polynom, das wir ja schon kennen.

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Eine allgemeine hermitesche 2x2 Matrix ist doch \( \begin{pmatrix} a & b* \\ b & c \end{pmatrix} \)

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Jein, prüfe auf \(A=\bar A\) und notiere alle(!) Bedingungen.

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Nach meiner Literatur und auch nach Suche im Internet muss gelten, A^T=A*

und das trifft doch auf A = \( \begin{pmatrix} a & b* \\ b & c \end{pmatrix} \) zu

A^T=\( \begin{pmatrix} a & b \\ b* & c \end{pmatrix} \) = A*

wenn a und c reell sind

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\(a,c\in\R\) hast Du vorher noch nicht genannt.

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a und c müssen ja bei hermiteschen Matrizen reell sein, oder nicht?

Wie soll es jetzt weitergehen?

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a und c müssen ja bei hermiteschen Matrizen reell sein, oder nicht?

Wieso fragst Du das - hast Du nun die Bedingungen für \(A=\bar A\) selbst hergeleitet oder nicht?

Wie es weitergeht, steht oben in der Antwort als zweiter Schritt (char. Pol.).

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\(A=\bar A\) ist die Definition von Hermiteschen Matrizen

a und waren bei mir stets reell. Du meintest, ich soll eine allgemeine hermitesche Matrix angeben. Da du meintest, diese sei falsch, hat mich das verwirrt.

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Ich hab gesagt, dass es nicht alle Bedingungen sind. Und das war ja auch so. Manches ist reell, manches komplex. Du musst alle(!) Bedingungen notieren. Das Argument "waren bei mir so" zählt nicht - woher soll man wissen, was bei Dir so ist, wenn Du es nicht notierst?!

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Gut ok das hätte ich notieren müssen.

a und c ∈ ℝ

b ∈ ℂ

Für das char Pol haben wir nun:

X²-Xa-Xc+ca-b*b

es muss gelten X²-1=0

Hier muss nun der Koeffizientenvergleich verwendet werden, oder?

also muss dann Xa+Xc-ca+b*b = 1 sein

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es muss gelten X2-1=0

Nein, sondern es müssen die Polynome \(X2-Xa-Xc+ca-b*b\) und \(X^2-1\) gleich sein.

Du fragst ob Du Koeffizientenvergleich machen sollst. Vor 39 Min. sagte ich "Polynome vergleicht man mit Koeffizientenvergleich."

Dann mach es nun. "Koeffizientenvergleich" heißt es, weil man... .

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Ja wir vergleichen die zwei Polynome nun. Bei X² bleibt die 1. a und c sind dann beide = 0

Es könnte doch auch sein, dass a=-c und ca-b*b = 1

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Ja, was denn nun? Schreib die beiden Bedingungen aus dem Koeffizientenvergleich auf (Koeffizient von \(X^2\) ist beide Male 1, lassen wir weg). Du überspringst dauernd Schritte, dadurch zieht sich das hier.

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Vergleich der Polynome

X²-1 und

X²-X·(a+c)+ac-b*b

Hier muss nun a+c=0 sein also a=-c

ac-b*b muss -1 sein

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Gut. Damit nun die Matrix vereinfachen und schauen, ob Du die \(\alpha_x,...\) schon erkennen kannst, vgl dein Ergebnis aus der anderen Beweisrichtung.

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Vereinfachen der Matrix A:

\( \begin{pmatrix} -c & b* \\ b & c \end{pmatrix} \)

Ich sehe, dass sich die Diagonaleinträge von A (also -c und c) mit Vielfachen der Matrix σ_x darstellen lassen

Die Diagonaleinträge b und b* von A lassen sich als Summe von Vielfachen der Matrizen σ_y und σ_z darstellen

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Also, wie lautet dein \(\alpha_x, \alpha_y, \alpha_z\)?

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A = α_x · σ_x + α_y · σ_y + α_z · σ_z

α_x = -c

α_y = Realteil von b

α_z = Imaginärteil von b

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Ich kann auch nun das char Pol.

von \( \begin{pmatrix} αx & αy-iαz \\ αy+iαz & -αx \end{pmatrix} \)

Dieses lautet X²-(α_x²+α_y²+α_z²)

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Sieht gut aus. Bin unterwegs und kann das gerade nicht nachrechnen, mach auch selbst die Probe. Dass der Alpha-Vektor Länge 1 hat, hast Du vorher ja schon gesehen (sieht man auch am char. Pol.).

So, dann haben wir's, oder ist noch was offen/unklar?

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Ich denke, das sollte es nun sein. Vielen lieben Dank