Gesucht sind die Geschwindigkeiten und der Weg für den freien Fall.

Question

Aufgabe:

Gesucht sind die Geschwindigkeiten und der Weg für den freien Fall, bei dem der Luftwiderstand proportional mit der Geschwindigkeit anwächst für die Anfangsbedingungen v(t=0)=0, s(t=0)=0.

Hinweis:

mg - mkv = m(dv/dt)

Lösungen aus dem Lösungsbuch:

$$ v = \frac { g } { k } \left( 1 - e ^ { - k t } \right) \quad s = \frac { g } { k } \left[ t - \frac { 1 } { k } \left( 1 - e ^ { - k t } \right) \right] $$

Die Aufgabe ist aus dem Themengebiet "Gewöhnliche Differentialgleichungen".

Answer 1

Die eigentliche Differentialgleichung ist ja das Kräftegleichgewicht mit dem Newtonschen Axiom F = m*s''

Sie lautet:

m*s'' = mg - mks'

wobei mg die Gewichtskraft und -mkx' die geschwindigkeitsabhängige Reibungskraft ist.

Jetzt kannst du hier eine Subsitution durchführen, weil s selbst gar nicht in der Differentialgleichung vorkommt, dass ist der Hinweis: Setzt man v = s', dann lautet die Differentialgleichung für v:

m*v' = mg - mkv

v' + kv = g

Das ist eine gewöhnliche, lineare, inhomogene Differentialgleichung. Wir betrachten die zugeordnete homogene Gleichung:

v' + kv = 0

Mit dem e-Ansatz für lineare Differentialgleichungen v = e^λx erhält man das Polynom in λ:

λ + k = 0
λ = -k

Also lautet die allgemeine Lösung der homogenen Differentialgleichung:

v = v₀e^-kt

Um die allgemeine Lösung der inhomogenen Differentialgleichung zu finden, muss noch eine beliebige partikuläre Lösung der inhomogenen hinzuaddiert werden.

Man sieht leicht, dass v=g/k die DGL löst: es gilt v'=0 und

0 + k*g/k = g

Also lautet die allgemeine Lösung der inhomogenen DGL:

v(t) = v₀e^-kt + g/k

Nun soll außerdem v(t=0) = 0 gelten, das führt zu:

0 = v₀+g/k
v₀ = -g/k

also lautet die Lösung für v angepasst an die Randbedingungen:

v(t) = -g/k e^-kt + g/k = g/k*(1-e^-kt)

Um nun s(t) zu finden, muss die gefundene Gleichung einmal integriert und die Konstante wieder an die Anfangsbedingung angepasst werden:

s(t) = ∫v(t)dt = g/k*t + g/k² e^-kt + s₀

Es soll s(t=0) = 0 gelten:

0 = g/k² + s₀
s₀ = -g/k²

⇒s(t) = g/k*t + g/k² e^-kt - g/k² = g/k*(t + 1/k e^-kt - 1/k) = g/k*(1 - 1/k*(1-e^-kt))