Was bedeutet k ∈ ℕ ∪ {∞}?

Question

Aufgabe:

Was bedeutet k ∈ ℕ ∪ {∞}?

Problem/Ansatz:

Also k ∈ ℕ kein Problem, aber die Menge mit dem Unendlichzeichen verwirrt mich etwas.

Answer 1

Das bedeutet nur, dass \(k\) auch den Wert unendlich annehmen kann, da hier die natürlichen Zahlen mit dem Wert unendlich vereinigt werden. Vergleiche etwa \(k\in \{1; 2; 3\} \cup \{4\}\), was das gleiche wäre wie \(k\in \{1;2;3;4\}\). Da Unendlich aber nicht zu den natürlichen Zahlen gehört, vereint man diese beiden Mengen.

Comments

Das bedeutet nur, dass \(k\) auch den Wert unendlich annehmen kann,

Was soll das heißen? Inwiefern ist oo ein Wert? Worin besteht die Wertigkeit?

Welchen Sinn macht der Ausdruck? N ist doch schon eine unendlich große Menge?

Womit genau wird hier anschaulich vereinigt?

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Da der Kontext nicht klar ist, lässt sich das nicht pauschal beantworten. Aber \(k\) könnte beispielsweise die Dimension eines Vektorraumes sein und da es eben auch unendlichdimensionale Vektorräume gibt, ist es sinnvoll, den "Wert" \(\infty\) mit zu berücksichtigen. Aber auch andere Konzepte, wo ein Ausdruck eben unendlich sein kann benötigen eine derartige Notation, etwa der Grenzwert von Folgen als \(\lim_{n\rightarrow\infty}a_n=k\), wobei \(k\) eben auch unendlich sein kann (der Grenzwert existiert dann nicht).

Und auch wenn die Menge der natürlichen Zahlen unendlich groß ist, gibt es Mengen, die größer sind. Man spricht dann von Überabzählbarkeit, wozu bspw. die reellen Zahlen gehören. Auch dort findet man in gewissen Kontexten die Notation \(\mathbb{R}\cup \{\pm \infty\}\). Hier spricht man dann von den erweiterten reellen Zahlen.

Das Konzept der Unendlichkeit ist für Laien meist aber ohnehin kaum greifbar.

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Ich werde meine KI fragen, wenn sie wieder bereitsteht.

Und auch wenn die Menge der natürlichen Zahlen unendlich groß ist, gibt es Mengen, die größer sind. Man spricht dann von Überabzählbarkeit, wozu bspw. die reellen Zahlen gehören.

Das weiß sogar ich - schon lange. Ich kenne auch Cantor und seinen relevanten Beweis dazu.

Hier spricht man dann von den erweiterten reellen Zahlen.

Erweitert um was? Der nächste, für mich verwirrende, Ausdruck. Mit welcher Unendlichkeit kann man R vereinigen?

unendlichdimensionale Vektorräume

Für mich eine Leerformel. Ich kenne sowas mit unendlich vielen Universen. Ein Gedankenkonstruktur, das hilfreich sein kann, nie beweisbar sein wird. Es erklärt alles und nichts zugleich.

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Erweitert um was? Der nächste, für mich verwirrende, Ausdruck. Mit welcher Unendlichkeit kann man R vereinigen?

Verwirrend ist da gar nichts, weil alles genau definiert ist. Das Problem ist viel mehr, dass man immer versucht, sich etwas anschaulich vorzustellen. Manchmal funktioniert das eben nicht so gut. Und wenn es nicht klappt, findet man es wohl verwirrend, obwohl die Definitionen und die Logik dahinter mehr als deutlich sind.

Reelle Zahlen: \(\mathbb{R}\)

Erweiterte reelle Zahlen: \(\mathbb{R}\cup \{\pm\infty\}\)

Duden: erweitern - in seiner Ausdehnung, in seinem Umfang vergrößern

Die Elemente, um die die reellen Zahlen erweitert werden, sind \(-\infty\) und \(+\infty\). Das hat mit "Unendlichkeit" als solche erst einmal nichts zu tun. Das sind zwei Elemente genauso wie die Zahlen 1 und 2 zwei Elemente sind. Da muss man also nicht groß überlegen, wie man das vereinigen kann. Das sind die Grundlagen der Mengenlehre.

Ich könnte die reellen Zahlen auch mit einer Kiste Bananen vereinigen.

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ch könnte die reellen Zahlen auch mit einer Kiste Bananen vereinigen.

Und welchen Sinn soll das machen?

Man kann alles Mögliche definieren und daraus auch Unsinniges oder Sinnfreies ableiten.

Das hat mit "Unendlichkeit" als solche erst einmal nichts zu tun.

Warum verwendet man dann dieses Zeichen?

Nenne mir ein konkretes Beispiel, nicht zu abstrakt, in dem das vorkommt.

Das Problem ist viel mehr, dass man immer versucht, sich etwas anschaulich vorzustellen.

Das ist ein urmenschliches Bedürfnis. Warum sind Mathe-Abiaufgaben heute viel konkreter früher? Konkretheit motiviert, zu hohe Abstraktheit demotiviert - Nicht-Freak.

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PS:

Das sagt die KI dazu:

Anschaulich lässt sich diese mathematische Notation folgendermaßen erklären:
Stellen Sie sich eine Linie vor, die bei 1 beginnt und sich nach rechts fortsetzt. Auf dieser Linie sind alle natürlichen Zahlen markiert:
1 - 2 - 3 - 4 - 5 - ... und so weiter ...
Nun fügen wir am ganz rechten Ende dieser Linie, sozusagen "am Horizont", noch einen speziellen Punkt hinzu, den wir Unendlich (∞) nennen.
Die Aussage "k ∈ ℕ ∪ {∞}" bedeutet nun, dass k irgendwo auf dieser Linie liegen kann:

k könnte irgendeine der markierten Zahlen sein (1, 2, 3, 4, ...)
Oder k könnte dieser spezielle Punkt ganz am Ende (∞) sein

Praktisch wird diese Notation oft verwendet, wenn man über Prozesse oder Eigenschaften spricht, die:

Entweder nach einer bestimmten Anzahl von Schritten enden (k ist dann eine natürliche Zahl)
Oder theoretisch unendlich lange weitergehen könnten (k ist dann ∞)