[Erwartungswert, Stochastik] Mit wie vielen Treffern kannst du rechnen?

Question

Hallo!

Ich hätte mal eine Frage, bzw. gibt es hier einen Lösungsweg, den ich einfach nicht nachvollziehen kann.

Aufgabe: Beim Backen eines Omeletts versuchst du jedes Mal, die Omletts durch hochwerfen in der Pfanne zu drehen. Es gelingt dir zu 60% du zählst das als Treffer. Du hast 3 Omletts gebacken.
Mit wie vielen Treffern kannst du rechnen?

Lösungsweg:

x      P(X=x)          x+P(X=x)
0      1× 0,4^3         0

1       3×0,6×0,4^2    0,288

2      3×0,6^2×0,4    0,864

3      1×0,6^3          0,648

Leider will sich mir beim besten Willen keine Logik ergeben.
Vermutlich stammen die 0,4 und 0,6 aus den 60% (1-0,6=0,4) - aber wieso wird diese Zahl bei 1 und 2 plötzlich 3× genommen? Es gelingen ja nicht alle 3 Würfe, es gelingt ja eben nur 1 Wurf?
Mir erschließt sich leider die ganze Zeile P(X=x) nicht.

Falls das jemand sehr kleinschrittig (für Doofe) erklären könnte, wäre ich sehr dankbar! Ich möchte die Aufgabe gerne verstehen.

Viele Grüße!

Answer 1

Stell dir ein Baumdiagramm vor (evtl. zeichnest du mal eins). Dann sollte das klar werden.

Natürlich gelingt es nicht in allen drei Würfen, deswegen haben wir ja sowohl den Faktor für die Trefferwahrscheinlichkeit (0,6) als auch den Faktor für die Nicht-Trefferwahrscheinlichkeit (0,4) im Term enthalten. Bei \(P(X=1)\) wird nun die Wahrscheinlichkeit berechnet, dass es dir genau einmal gelingt.

Dafür gibt es nun aber 3 Möglichkeiten, denn entweder dir gelingt das erste, das zweite oder das dritte Omelett. Im Baumdiagramm wirst du für diesen Fall also 3 Pfade finden. Daher kommt die 3.

Bei \(P(X=2)\) gibt es auch 3 Möglichkeiten: Dir gelingen Omelett 1 und 2, 1 und 3 oder 2 und 3. Auch da gibt es dann 3 Pfade.

Es handelt sich hier übrigens um die Binomialverteilung und die Formel für \(P(X=k)\) nennt sich Bernoulli-Formel. Du kannst dich da ja mal weiter schlau machen, wenn das noch nicht besprochen wurde.

Allerdings: Um den Erwartungswert zu berechnen, bräuchte man in diesem konkreten Fall die Wahrscheinlichkeitsverteilung nicht aufstellen, da die Anzahl der Erfolge binomialverteilt ist. Da gibt es dann eine einfache Formel für den Erwartungswert. Falls das noch nicht behandelt wurde, ist der Weg über die Wahrscheinlichkeitsverteilung natürlich notwendig.

Comments

Die Frage ist eindeutig.

Was du als "Frage" bezeichnest war die AUFGABE (die durchaus eindeutig ist).

Zu dieser Aufgabe (oder besser: zu deren Musterlösung) hatte Sommerherz eine Frage.

Die hast du eindeutig ignoriert.

Mache dir bitte den Unterschied der beiden Begriffe "Aufgabe" und "Frage" klar.

Answer 2

Die 3 kommt daher, dass der Treffer bzw. die Nichttreffer an 3 Stellen stehen können.

P(X = 0) = P(NNN) = 0.4^3 = 0.064
0·P(X = 1) = 0·0.064 = 0

P(X = 1) = P(TNN, NTN, NNT) = 3·0.6·0.4^2 = 0.288
1·P(X = 1) = 1·0.288 = 0.288

P(X = 2) = P(TTN, TNT, NTT) = 3·0.6^2·0.4 = 0.432
2·P(X = 2) = 2·0.432 = 0.864

P(X = 3) = P(TTT) = 0.6^3 = 0.216
3·P(X = 3) = 0.648

E = 0·P(X = 0) + 1·P(X = 1) + 2·P(X = 2) + 3·P(X = 3)
E = 0 + 0.288 + 0.864 + 0.648 = 1.8

Answer 3

Gesucht ist der Erwartungswert:

EW= 3*0,6 = 1,8

https://de.wikipedia.org/wiki/Binomialverteilung#Erwartungswert

Du hast berechnet : kein, 1, 2, 3 Treffer. Das ist nicht gesucht.

Comments

Das war überhaupt nicht die Frage bzw. das Problem des FS.

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Seine Bewertung BESTE ANTWORT erschließt sich mir nicht.

Mir schon. Er hat sich dem Anliegen des Fragestellers gewidmet - du nicht.

Warum man dem EW so unnötig kompliziert berechnen soll, erschließt sich mir nicht.

Daraus kann man dir keinen Vorwurf machen, dir fehlt die praktische Unterrichtserfahrung. Der Erwartungswert einer beliebigen diskreten Zufallsgröße wird über die Wahrscheinlichkeitsverteilung (Produkte aller Werte mit ihren jeweiligen Wahrscheinlichkeiten werden aufsummiert) eingeführt. Erst wesentlich später, nach Einführung der Binomialverteilung, kann man daraus für diese eine spezielle Verteilung die "Abkürzung" E(X)=n*p herleiten und verwenden.

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Kein EW ist banaler als der der Binomialverteilung.

Das ist richtig. Nur kann man erst damit arbeiten, wenn man die Binomialverteilung kennt.

Man braucht ihn mMn gar nicht herleiten,

Bist du irre?

Mathematikunterricht ist nicht: "Diese Regel gibt es. Warum, hat euch nicht zu interessieren. Befolgt sie einfach."
Neues sollte nie einfach nur nach dem "Basta"-Prinzip hingeworfen werden. Es sollte - wenn immer die Vorkenntnisse der Schüler das erlauben - wenigstens begründet, im besten Falle korrekt hergeleitet werden.