Abstand zweier sich tangierender Kreise

Question

Aufgabe:

Ich möchte in Abhängigkeit des Winkels θ den radieren Abstand h zweier sich tangierender ineinander liegender Kreise (mit r_a  und r_i ) berechnen.

Ansatz:

h(θ)=(r_a−r_i)(1+cos(θ))

Damit wäre h(0)=2(r_a−r_i) und h(pi)=0

Problem:

h(pi/2)=r_a−r_i , was aber nicht ganz stimmt, weil die Kreise ja keinen gemeinsamen Mittelpunkt haben und die Radien in diese Richtung nicht kollinear sind. Eigentlich müsste hier h etwas kleiner sein. Wie kann ich das mathematisch darstellen? Oder habe ich einen Denkfehler?

Comments

Wenn zwei Objekte sich berühren, haben sie den Abstand 0.

Was ist der Sinn deiner Frage?

Und was meinst du mit

radieren Abstand

?

PS: Mich beschleicht gerade eine Vermutung. Geht es um das hier:

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Ja! Vielen Dank für die Zeichnung. In meiner Überlegung setzt θ aber am Mittelpunkt des inneren Kreises an. Es sollte „radiär“ heißen, bezogen auf den inneren Kreis.

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Hallo

der Radius zur Berührstelle vom inneren und äußeren Kreis sind doch auf einer Geraden, was meinst du mit nicht kolinear?

Und ich weiss weiter nicht was radiär ist. zeig dein Problem in einer Zeichnung.

lul

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So meine ich das (hier nun phi statt theta). Mit obiger Funktion wird der Abstand entlang des Umfangs des inneren Kreises beschrieben. Nur stimmt das Ergebnis für pi/2 nicht (in der Zeichnung in vertikaler Richtung).

Answer 1

Zum einfacheren Schreiben nenne ich die Radien r und R. Die Länge \(\ell =\overline{M_2A}\) kann mit dem Kosinussatz berechnet werden:

R²=l²+(R-r)²-2l*(R-r)*cos φ

0 = l² -2l*(R-r)*cos φ -2Rr+r²

Die positive Lösung dieser Gleichung ist

l=(R-r)*cos φ +\( \sqrt{(R-r)²*cos² φ +2Rr-r²} \).

Dein gesuchter Abstand ist die Differenz l-r.

Nachtrag: Du schriebst zu deiner Version

Nur stimmt das Ergebnis für pi/2 nicht (in der Zeichnung in vertikaler Richtung).

Für φ=90° vereinfacht sich meine Formel zu \(\ell = \sqrt{2Rr-r²} \) und demzufolge gilt für 90°

\(\ell -r= \sqrt{2Rr-r²} -r \).