Grenzwert: Gebrochen rationale Funktion

Question

Aufgabe:

\( \displaystyle f:\; \mathbb{R} \backslash\{-3,1,3\} \rightarrow \mathbb{R}:\; x \mapsto \frac{-3 x^{3}+3 x^{2}+15 x-15}{\left(x^{2}-9\right)(x-1)} \\\\   \lim \limits_{x \rightarrow 3+0} f(x)=-\infty \)

Problem/Ansatz:

Könnte mir hier jemand evtl weiterhelfen und erklären, wieso der Bruch gegen -unendlich strebt im rechtsseitigen Grenzwert. Ich hätte tatsächlich alles ausmultipliziert, Hospital angewendet, aber wäre nicht zu dem Ergebnis gekommen.

LG

Answer 1

Ausmultiplizieren ohne Anlass ist nie sinnvoll - man will es ja einfach haben. L'Hospital ist hier nicht anwendbar (warum nicht?).

Für \(x\to 3+\) gilt: Zähler geht gegen \(-24\), Nenner gegen \(\infty\), also der Bruch gegen \(-\infty\).

Comments

Zähler geht gegen \(-16\)

Ich bekomme -24 raus. Aber wichtig ist hier ja nur das Vorzeichen.

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Ja, hab's korrigiert.

Answer 2

L'Hospital brauchst du hier nicht und Ausmultiplizieren ist meistens eine schlechte Idee. Man weiß ja schon, dass der Nenner gegen 0 geht, also geht der Bruch insgesamt gegen "unendlich". Das Vorzeichen bekommt man, indem man sich einfach die Vorzeichen der Faktoren anschaut.

Der Faktor \((x^2-9)\) ist positiv für \(x>3\). Der Faktor \((x-1)\) ist positiv für \(x>3\). Das Vorzeichen des Zählers ist negativ für \(x=3\) und damit geht der Ausdruck gegen \(-\infty\).

Answer 3

Anmerkung:

Man kann den Zähler faktorisieren zu -3(x-1)(x^2-5)

damit kann man mit (x-1) kürzen und x= 1 einsetzen:

lim = 3/2 für x -> 1

Es bleibt übrig; (-3x^2+15)/(x^2-9):

für x -> 3 gilt:

(-3[(3+h)^2-5])/[(3+h)^2-9] =  (-27-18h-3h^2+15)/(9+6h+h^2-9)= (-18h-3h^2-12)/(6h+h^2) = -12/0

= -oo für h->0

Comments

Ist das die Antwort zu der Frage?
Oder hast Du Dir die Frage gar nicht durchgelesen?

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Vorsicht mit solchen Statements! Du könntest einen bösen lateinischen Bannspruch bekommen.

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Zumal sich auch hier wieder Fehler eingeschlichen haben, denn h geht sicherlich nicht gegen unendlich und im ersten Fall wurde das Vorzeichen übersehen.

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Und die letzten beiden =-Zeichen sind wie so oft falsch.

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Was ist an -oo falsch? -27+15 = -12

Ich würde auch dich zum wiederholten Male bitte, jeden Fehler zu begründen. Das spart Zeit und Nerven und ist sicher nicht zuviel verlangt.

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Wo soll ich anfangen?

Von einem für h≠0 definierten Ausdruck wie

(-18h-3h²-12)/(6h+h2)

kommst du nach einem Gleichheitszeichen zu dem undefinierten Ausdruck

-12/0

Das Gleichheitszeichen ist hier schon mal frevelhaft.

Wenn wir uns aber mal auf dieses Niveau herabbegeben und die unsaubere Schreibweise ignorieren: Wieso sollte der nicht existente Term

-12/0 durch das Symbol

-oo

repräsentiert werden? Der Nenner geht gegen 0. So what?!

Geht er gegen +0 oder gegen -0?

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Wie es aussieht, hast du \(x\) durch \(\left(3+h\right)\) ersetzt.

Warum?

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Na, das ist ja mal logisch.

Der Grenzwert für x gegen 3 entspricht dem Grenzwert für h gegen 0.

Die h-Methode ist im Unterricht auch (meist) die gebräuchlichere.

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Na, das ist ja mal logisch.

Die Frage richtet sich an ggT und zielt auf eine Begründung.

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Wie es aussieht, hast du \(x\) durch \(\left(3+h\right)\) ersetzt.Warum?

Um die h-Methode anzuwenden.

Auch wenn man Formales bemängeln kann, ist der Weg mMn zuführend. Die saloppe Schreibweise kenne ich aus Schulzeiten und auch aus Foren. Im Kontext sollte klar sein, was ich meine.

0 steht für : h ->0.

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0 steht für : h → 0

Hier mal was abakus meint, an einem trivialen Beispiel

lim (x → 0-) 1/x = - ∞

lim (x → 0+) 1/x = ∞

Es gibt also immer 2 Grenzwerte. Einen rechtsseitigen und einen Linksseitigen und die können durchaus auch anders sein. Und weil es wichtig ist welchen Grenzwert man meint sollte man das auch beim Aufschrieb so kenntlich machen.

Die Unterscheidung spielt beim Grenzwert gegen plus oder minus unendlich keine Rolle. Dort mache ich im Gegensatz zu den meisten aber noch kenntlich von wo es gegen den Grenzwert geht

lim (x → - ∞) 1/x = 0-

lim (x --> ∞) 1/x = 0+

Skizze

~plot~ 1/x;0;x=0 ~plot~

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Danke für deine Mühe und gute Erklärung.

Wenn ich mir den Graphen plotten lasse, geht f(x) gegen -oo, für x -> 3

Mehr wollte ich mit -12/0 = -oo nicht sagen und die vorgebene Lösung als richtig bestätigen.

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Die "h-Methode" wird in diesem Zusammenhang gar nicht benötigt und bringt gar keinen Nutzen!

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Wieso nicht?

Es war doch gefragt:

wieso der Bruch gegen -unendlich strebt im rechtsseitigen Grenzwert.

Für mich ist das die klassische Methode und sehr anschaulich. Was stört dich so sehr daran außer den kritisierbaren Formalitäten?

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Wenn ich mir den Graphen plotten lasse, geht f(x) gegen -oo, für x -> 3

Joda würde sagen: "Viel zu lernen du noch hast".

~plot~ (-3x^3+3x^2+15x-15)/((x^2-9)(x-1));x=3;[[-8|8|-10|10]] ~plot~

Bei x = 3 unterscheiden sich der links und der rechtsseitige Grenzwert.

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Für mich ist das die klassische Methode und sehr anschaulich. Was stört dich so sehr daran (...)?

Ohne diese Substitution erhält man bei sonst gleicher Rechnung dasselbe Ergebnis auf kürzerem Weg.

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Bei x = 3 unterscheiden sich der links und der rechtsseitige Grenzwert.

Es war nur nach dem rechtsseitigen gefragt.

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Ohne diese Substitution erhält man bei sonst gleicher Rechnung dasselbe Ergebnis auf kürzerem Weg.

Das stimmt. Aber ich darf doch 3 nicht im Nenner einsetzen, weil dafür nicht definiert. Oder wie ist das hier zu sehen?

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Es war nur nach dem rechtsseitigen gefragt.

Trotzdem muss das im Aufschrieb kenntlich gemacht werden.

Weil es eben einen Unterschied macht, ob rechts oder linksseitig.

Übrigens stand mal im Titel der Frage, bevor ich ihn verbessert habe, linksseitiger Grenzwert.

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Das stimmt. Aber ich darf doch 3 nicht im Nenner einsetzen, weil dafür nicht definiert. Oder wie ist das hier zu sehen?

Deswegen bildet man den Grenzwert. Ansonsten könnte man ja einfach f(3) schreiben.

lim (x → 3+) (- 3·x^2 + 15)/(x^2 - 9) = - ∞

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Trotzdem muss das im Aufschrieb kenntlich gemacht werden.

Daher schrieb ich 3+h, nicht 3±h.

Deswegen bildet man den Grenzwert. Ansonsten könnte man ja einfach f(3) schreiben

Das will aber az0815 nicht und setzt einfach ein. Darf man das?

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Daher schrieb ich 3+h, nicht 3+h.

Dann gehst du davon stillschweigend aus, dass h > 0 ist und auch das muss notiert werden.

Das will aber az0815 nicht und setzt einfach ein. Darf man das?

Das darf man natürlich nicht aber dass hat az0815 auch nicht gesagt.

Er sagt nur, du brauchst nicht substituieren. Also schreib es wie ich oben

lim (x → 3+) (- 3·x^2 + 15)/(x^2 - 9) = - ∞

ganz ohne Substitution. Das ist schneller und ist klarer.

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und auch das muss notiert werden.

O Mann, auf was man da alles achten muss. Hast aber natürlich Recht.

ganz ohne Substitution. Das ist schneller und ist klarer.

Ich gestehe, dass ich das so nicht kenne. Es erscheint mir auch etwas verwirrend. Mir fehlt irgendwie ein rechnerischer Zwischenschritt. Du landest mir zu schnell beim Ergebnis. Verstehst du, was ich meine?

Zusatzfrage: Geht das immer oder nur in Sonderfällen?

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Du kannst auch noch einen Zwischenschritt schreiben

lim (x → 3+) (- 3·x^2 + 15)/(x^2 - 9) = - 12/0+ = - ∞

Im Nenner bedeutet hier 0+ also etwas größeres als Null. Also würde ich beim linksseitigen Grenzwert

lim (x → 3-) (- 3·x^2 + 15)/(x^2 - 9) = - 12/0- = ∞

schreiben.

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Ich werde versuchen, beim nächsten Mal darauf zu achten. Danke für deine Geduld und sachlich ruhige und empathische Behandlung des Problems.

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- 12/0- = ∞

Das ist und bleibt Unsinn. Hat weder in der Schule noch in seriösen Antworten in Foren was zu suchen.

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Das ist und bleibt Unsinn. Hat weder in der Schule noch in seriösen Antworten in Foren was zu suchen.

Wie würdest du es korrekterweise notieren, wenn ggt22 es mit einem Zwischenschritt haben möchte?

Ich weiß, dass man das in der Schule und Uni eben nicht mit einem Zwischenschritt notiert. Aber es soll ja Leute geben, die das eben nicht ohne Zwischenschritt verstehen.

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Es gibt hier keinen rechnerischen Zwischenschritt. Nur Begründungen für das \(\lim... =\infty\), die bei Verständnisproblemen formuliert werden sollten.