Da der Grenzwert von f(x) wenn das x zu endlich ist gleich Null ist, folgt es dass der Grad des Nenners größer sein muss als der Grad des Zählers. Davon folgt also dass A=0 sein muss.
Eine Polstelle ist eine Definitionslücke. Das bedeutet dass x=1 eine Nullstelle des Nenners ist.
Da diese Polstelle ohne Vorzeichenwechsel ist, haben wir dass die Funktion auf beiden Seiten der Polstelle gegen +∞ oder auf beiden Seiten gegen −∞ läuft.
Da die 1 eine Nullstelle des Nenners ist haben wir folgendes: $$1^2+D\cdot 1+E=0 \Rightarrow 1+D+E=0\Rightarrow D=-1-E$$ Ausserdem haben wir dass die Polstelle ohne Vorzeichenwechsel ist, das bedeutet die Nullstelle des Nenners gerader Ordnung sein, also müssen im Nenner ein Quadrat haben:$$x^2+Dx+E=x^2+(-1-E)x+(\sqrt{E})^2$$ Es muss also gelten: $$-1-E=2\cdot \sqrt{E}\Rightarrow (-1-E)^2=(2\cdot \sqrt{E})^2 \Rightarrow 1+2E+E^2=4E\Rightarrow 1-2E+E^2=0 \Rightarrow (1-E)^2=0 \Rightarrow E=1$$
Davon folgt es auch dass D = -1-1=-2. Wir haben also $$f(x)=\frac{Bx+C}{x^2-2x+1}$$
Wir haben dass die Punkte (0;9) und (-4;4) auf dem Graphen der Funktion liegen. Wir haben also folgendes:
$$f(0)=9\Rightarrow C=9$$ $$f(-4)=4 \Rightarrow \frac{-4B+C}{16+8+1}=4\Rightarrow \frac{-4B+9}{25}=4\Rightarrow -4B+9=100 \Rightarrow 4B=-91 \Rightarrow B=-\frac{91}{4}$$
Wir haben also die Funktion $$f(x)=\frac{-\frac{91}{4}x+9}{x^2-2x+1}$$
