Form einer Gebrochenrationalen Funktion
Eine Gebrochenrationale Funktion ist sozusagen eine Funktion in Bruchform. Sie wird in folgender Form: f(x) = Z(x) / N (x) dargestellt.
Dabei beschreibt Z(x) das Zählerpolynom und N(x) den Nennerpolynom. Einzeln betrachtet sind N(x) und Z(x) ganzrationale Funktionen.
Der Grad von N(x) muss mind. 1 sein. Das bedeutet im Nenner muss mindestens ein x in der 1. Potenz (x^1 = x) vorkommen.
Ein Beispiel: f(x) = (3x² + x) / (x + 1)
Echt oder unecht gebrochen ?
Bei einer echt gebrochenrationalen Funktion ist der Grad von Z(x) kleiner wie der Grad von N(x)
Beispiel: f(x) = (x+1) / (x²+x+1)
Bei einer unecht gebrochenrationalen Funktion ist der Grad von Z(x) größer wie der Grad von N(x)
Beispiel: f(x) = (x³ +1) / (x² -x)
Solche kann man immer als Summe einer ganzrationalen Funktion und einer echt gebrochen rationalen Funktion schreiben.
Im Beispiel : f(x) = (x³ +1) / (x² -x) = x+1 + ( x +1) / (x² -x)
Definitionslücken
Die Definitionslücken beschreiben die reellen Zahlen, für welche der Funktionsterm nicht definiert ist. Die Definitionslücken sind die NST vom Nennerpolynom, die nicht zugleich auch Nullstellen des Zählerpolynoms sind.
Beispiel: f(x) = (2x^4 + x²) / (x-1)
x -1 ist der Nennerpolynom. Die Nullstellen davon sind die Definitionslücken der Gebrochenrationalen Funktion.
0 = x - 1 → 1
Die Definitionsmengen werden folgendermaßen dargestellt:
ID = IR \ {1}
Zwei Arten der Definitionslücken
a) Die Nullstelle des Nennners ist gleichzeitig auch Nullstelle des Zählers. In diesem Fall liegt eine hebbare Lücke vor. Das bedeutet im Graphen der Funktion ist an dieser Stelle sozusagen ein "Loch"
b)Die Nullstelle des Nenners ist nicht gleichzeitig auch Nullstelle des Zählers. An dieser Stelle liegt eine Polstelle bzw. eine senkrechte Asymptote vor.
Nullstellen der Funktion
NST = Schnittpunkte mit der x-Achse und y ist gleich 0
Um die NST der gesamten gebrochenrationalen Funktion zu ermitteln, wird das Zählerpolynom Null gesetzt.
Beispiel: f(x) = (x+1) / (x²+x+1)
0 = x +1 → -1. Die Nullstelle ist also bei - 1
Zusammenfassung:
Funktionsterm ist ein Quotient zweier ganzrationale Funktionen.
Nullstellen vom Nenner sind die Definitionslücken der gebrochenrationale Funktionen
Definitionslücken werden aus dem Definitionsbereich ausgeschlossen
Nullstellen vom Zähler sind die Nullstellen der gebrochenrationalen Funktion
