Gebrochen rationale Funktionen

Question

ich benötige mal eure Hilfe.

Aufgabe:

Eine gebrochen rationale Fkt.   f(x)= x+a/ x^2+ bx+ c mit a,b,c element R hat bei x1=2 eine Polstelle &

bei x2= -4 eine hebbare Lücke.

1.) Bestimmen Sie die Werte a,b,c im Fkt.-term.

2.) Welche Asymtote(n) besitzt der Graph von f?

3.) Wodurch müsste der Fkt.-term ergänzt werden, damit die Asymtote y=3 vorliegt

Ich wäre sehr dankbar über jede Hilfe von euch.

Answer 1

Hi,

a)

Hebbare Defintionslücke bedeutet, dass die Nullstelle sowohl im Zähler als auch im Nenner vorkommt.

Für den Zähler gilt: x+4, dann haben wir nämlich die Nullstelle x = -4

Im Nenner brauchen wir:

(x+4)(x-2) = x^2+2x-8

Damit sind alle Bedingungen erfüllt.

b)

Die Asymptote liegt auf der x-Achse, da der Nennergrad größer ist als der Zählergrad.

c)

Es muss beispielsweise der Faktor 3x im Zähler ergänzt werden. Dann haben wir Nennergrad = Zählergrad und die Vorfaktoren der höchsten Potenzen entscheiden über die Asymptote. In dem Falle wäre dies y = 3/1 = 3

Grüße

Comments

Vielen Dank euch beiden erst einmal, könntet ihr mir aber noch sagen, wie ihr das gerechnet habt? :)

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Gerne ;).

Was meinst Du mit "gerechnet"? Alle Überlegungen wurden dargelegt?! ;)

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Ich meine wie seit ihr auf die Lösungen gekommen, muss nämlich noch andere ähnliche Aufgaben lösen.

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Wie gesagt, die Überlegungen wurden dargelegt ;).

"Polstelle" bedeutet "Nennernullstelle", deswegen der Faktor (x-2), was eine Nullsteller im Nenner ist. Selbiges mit der hebbaren Definitionslücke...sind wieder Nullstellen, also als (x+4) schreiben und so weiter.

"Rechnen" muss man da nichts...nur erkennen^^.

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Aha so eine Art "Mathematischer Blick" :),
na gut dann probier ich das mal aus.

:)

Answer 2

f(x)= x+a/ x²+ bx+ c mit a,b,c element R hat bei x1=2 eine Polstelle &

bei x2= -4 eine hebbare Lücke.

Ich vermute mal f(x)= (x+a)/( x²+ bx+ c)

also bei 2 und -4 sind die Nullstellen des Nenners, also

nenner =  (x-2)(x+4) =  x^2 + 2x - 8 also b=2 und c=-8

hebbar heißt  Zähler wird für -4 auch null, also zähler= x+4

also  a=4.

bleibt   f(x) = 1  /  (x-2)

senkrechte Asy. bei x=2 und die x-Achse isr ASY.

asy mit y=3 wenn für x gegen unendlich der GW 3 ist,

also  zb   f(x) = 3x / (x-2)

Comments

Abend mathef :),

will bitte nicht pingelig erscheinen, aber mit dem Abschlusssatz die c) mit f(x) = 3x/(x+2) anzugeben, wäre ich vorsichtig, da hier die Definitionslücke (wenn sie auch hebbar ist), nicht mehr berücksichtigt wird :).

Grüßle

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ok, ist eine gute Idee.