Bestimmen Sie Basis und lineare Abhängigkeit

Question

Aufgabe:

Sei \( V \) ein Vektorraum über einem Körper \( K \) und \( \mathbf{v}_{1}, \ldots, \mathbf{v}_{n} \) eine Basis für \( V \).
(a) Bestimmen Sie, ob die Vektoren \( \mathbf{v}_{1}, \mathbf{v}_{1}-\mathbf{v}_{2}, \mathbf{v}_{1}-\mathbf{v}_{3}, \ldots, \mathbf{v}_{1}-\mathbf{v}_{n} \) eine Basis für \( V \) bilden.
(b) Seien \( a_{1}, \ldots, a_{n} \in K \) mit \( a_{1}+\ldots+a_{n}=1 \), und sei \( \mathbf{w}=a_{1} \mathbf{v}_{1}+\ldots+a_{n} \mathbf{v}_{n} \in V \). Zeigen Sie, dass \( \mathbf{w}-\mathbf{v}_{1}, \mathbf{w}-\mathbf{v}_{2}, \ldots, \mathbf{w}-\mathbf{v}_{n} \) linear abhängig sind.
(c) Seien \( a_{1}, \ldots, a_{n} \in K \) mit \( a_{1}+\ldots+a_{n} \neq 1 \). Es sei wiederum \( \mathbf{w}=a_{1} \mathbf{v}_{1}+\ldots+a_{n} \mathbf{v}_{n} \in V \). Zeigen Sie, dass \( \mathbf{w}-\mathbf{v}_{1}, \ldots, \mathbf{w}-\mathbf{v}_{n} \) eine Basis für \( V \) bilden.

Problem/Ansatz:

ich kann die linearkombination bilden aber wie geht es weiter?

Comments

Z.B. die (b) etwa folgendermaßen (die beiden anderen ähnlich):
\(\quad a_1(w-v_1)+a_2(w-v_2)+\ldots+a_n(w-v_n)\\=\big(\underbrace{a_1+a_2+\ldots+a_n}_{=1}\big)w-\big(\underbrace{a_1v_1+a_2v_2+\ldots+a_nv_n}_{=w}\big)\\=w-w=0.\)

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Kannst du denn a)

lul

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Text erkannt:

Asfale 2. 1
din. uniath puifer:
\( \begin{array}{l} a_{1} \cdot v_{1}+a_{2} \cdot\left(v_{1}-v_{2}\right)+a_{3} \cdot\left(v_{1}-v_{3}\right)+\ldots+a_{n} \cdot\left(v_{1}-v_{n}\right)=0 \\ \Leftrightarrow a_{1} \cdot V_{1}+a_{2} V_{4}-a_{2} V_{2}+a_{3} k_{1}-a_{3} V_{3}+\ldots+a_{n} k_{1}-a_{n} V_{n}=0 \\ \Leftrightarrow \underbrace{\left(a_{1}, \ldots, a_{n}\right.}_{=0}) v_{1}-a_{2} v_{2}-a_{3} v_{3}-a_{n} v_{n}-\ldots a_{n} v_{n}=0 \\ \Leftrightarrow 0 \cdot v_{1}-0 \cdot v_{2}-0 \cdot v_{3}-\ldots-0 \cdot v_{n}=0 v \\ \end{array} \)

Ist das richtig?

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Warum schreibst du in der Klammer ein Komma statt einem Plus?

Answer 1

Nein, nicht richtig.

Du weißt (Voraussetzungen aufschreiben!):

\(b_1v_1+b_2v_2+...b_nv_n=0 \implies b_1=b_2=...=b_n=0\).

Du willst zeigen: \(a_1v_1+a_2(v_1-v_2)+a_3(v_1-v_3)+... a_n(v_1-v_n)=0 \implies a_1=a_2=...=a_n=0\).

Nachweis beginnt also mit \(a_1v_1+a_2(v_1-v_2)+a_3(v_1-v_3)+... a_n(v_1-v_n)=0\). Sortiere nun so um, dass Du die Voraussetzung anwenden kannst.

Comments

Text erkannt:

Aufaale2 a
varacusesting:
\( a_{1} k_{1}+a_{2} V_{2}+\ldots+a_{n} V_{n}=0 \Rightarrow a_{1}=\ldots=a_{n}=0 \)
din. unialh puigen:
\( \begin{aligned} & a_{1} \cdot v_{1}+a_{2} \cdot\left(v_{1}-v_{2}\right)+a_{3} \cdot\left(v_{1}-v_{3}\right)+\ldots+a_{n} \cdot\left(v_{1}-v_{n}\right)=0 \\ \Leftrightarrow & a_{1} \cdot v_{1}+a_{2} v_{1}-a_{2} v_{2}+a_{3} k_{1}-a_{3} v_{3}+\ldots+a_{n} v_{1}-a_{n} v_{n}=0 \\ \Leftrightarrow & \left(a_{1}+\ldots+a_{n}\right) \cdot v_{1}-a_{2} v_{2}-a_{3} v_{3}-a_{n} v_{n}-\ldots a_{n} v_{n}=0 \\ \Leftrightarrow & a_{1} v_{1}+\left(a_{2}+\ldots+a_{n}\right) v_{1}-\left(a_{2} v_{2}+a_{3} v_{3}+\ldots+a_{n} v_{n}\right)=0 \end{aligned} \)

Ah danke, komme aber da nicht mehr weiter

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Ich hab aus gutem Grund die Voraussetzung mit \(b_i\) geschrieben. Mach das auch. Dann folge der Anleitung oben, vgl nach Umformen mit der Voraussetzung und bringe in genau diese Form.

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Ich verstehe leider nicht worauf du hinauswillst mit b

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Um die Voraussetzung einzubringen, müssen wir den Ausdruck als Linearkombination der \(v_i\) schreiben. Mach das.

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Text erkannt:

Asfaled a
Vamausestung:
\( b_{1} v_{1}+b_{2} v_{2}+\ldots+b_{n} v_{n}=0 \Rightarrow b_{1}+\ldots b_{n}=0 \text {. } \)
din. Unäth ruigen:
\( \begin{aligned} & a_{1} \cdot v_{1}+a_{2} \cdot\left(v_{1}-v_{2}\right)+a_{3} \cdot\left(v_{1}-v_{3}\right)+\ldots+a_{n} \cdot\left(v_{1}-v_{n}\right)=0 \\ \Leftrightarrow & a_{1} \cdot v_{1}+a_{2} \cdot v_{1}-a_{2} v_{2}+a_{3} v_{1}-a_{3} v_{3}+\ldots+a_{n} v_{1}-a_{n} v_{n}=0 \\ \Longleftrightarrow & \left(a_{1}+\ldots+a_{n}\right) \cdot v_{1}-a_{2} v_{2}-a_{3} v_{3}-\ldots-a_{n} v_{n}=0 \\ \Leftrightarrow & b_{1} \cdot v_{1}+b_{2} v_{2}+b_{3} v_{3}+\ldots+b_{n} v_{n}=0 \end{aligned} \)
\( \triangle \) Dabei isf:
\( \begin{array}{l} b_{1}=a_{1}+\ldots+a_{n} \\ b_{i}=-a_{i} \text { fein } i=2, \ldots, n \end{array} \)
pirfen ob die Bedingeng lin. Unath. sind:
\( b_{1}=a_{1}+\ldots+a_{n} \frac{\text { law }}{\text { bonewtany }} 0 \)
\( b_{i} \)

komme ab hier nicht mehr weiter. Hab leider die Tage keine Zeit mehr gehabt mich an die Aufgabe zu setzen, jetzt bin ich wieder hier. Ich weiß jedenfalls nicht wie ich zeigen soll dass bi auch gleich 0 ist

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Beachte die Voraussetzung: Jede Linearkombination der \(v_i\), die den Nullvektor ergibt, kann nur die triviale sein.

Du hast nun eine solche LK gefunden, mit den von Dir richtig bestimmten \(b_i\). Diese müssen also nach Vor. alle =0 sein. Was folgt daraus für die \(a_i\) (um die geht es uns ja).

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Achso also da (a1, ..., an) = 0 muss bi = -ai auch gleich 0 sein, da alle a = 0?

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Was soll (a1, ..., an) = 0 bedeuten? Vektor=Zahl?

Du musst zeigen, dass alle \(a_i=0\) sind. Wie schließt Du das? Schreib es sorgfältig auf und achte auf die Begriffe ("prüfen, ob die Bedingung lin. unabh. sind" macht keinen Sinn).

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Text erkannt:

Anfacle2 a
Vamausseting:
\( b_{1} v_{1}+b_{2} v_{2}+\ldots+b_{n} v_{n}=0 \Rightarrow b_{1}+\ldots+b_{n}=0 \text {. } \)
din. unath prifen:
\( \begin{aligned} & a_{1} \cdot v_{1}+a_{2} \cdot\left(v_{1}-v_{2}\right)+a_{3} \cdot\left(v_{1}-v_{3}\right)+\ldots+a_{n} \cdot\left(v_{1}-v_{n}\right) \\ \Leftrightarrow & a_{1} \cdot v_{1}+a_{2} \cdot v_{1}-a_{2} v_{2}+a_{3} v_{1}-a_{3} v_{3}+\ldots+a_{n} v_{1}-a_{n} v_{n} \\ \Longleftrightarrow & \left(a_{1}+\ldots+a_{n} \cdot v_{1}-a_{2} v_{2}-a_{3} v_{3} \ldots \ldots a_{n} v_{n}\right. \\ \Leftrightarrow & b_{1} \cdot v_{1}+b_{2} v_{2}+b_{3} v_{3}+\ldots+b_{n} v_{n} \end{aligned} \)
\( \angle \) Oabi isf:
\( \begin{array}{l} b_{1}=a_{1}+\ldots+a_{n} \\ b_{i}=-a_{i} \operatorname{fin} i=2_{1} \ldots, n \\ z_{i} b_{1} \cdot v_{1}+b_{2} v_{2}+b_{3} v_{3}+\ldots+b_{n} v_{n}=0 \\ b_{1}=a_{1}+\ldots+a_{n} \xrightarrow{v a r .} 0 \end{array} \)
\( b_{i}=-a_{i} f_{i i} i=2, \ldots, n \) alv \( b_{i}=-\left(a_{2}, \ldots, a_{n}\right) \) und da \( a_{1}, \ldots, a_{n}=0 \) fin all \( a_{n} \) is \( -\left(a_{2}, \ldots, a_{n}\right)=-(0)=0=b_{i} \)
\( \begin{aligned} \Rightarrow b_{1} \cdot v_{1}+b_{2} v_{2}+\ldots+b_{n} v_{n}=0 \cdot v_{1}+0 \cdot v_{2}+\ldots+v_{n}=0 v \\ \quad \text { lim. umash } v \end{aligned} \)

Ist das richtig?

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Nein. Außerdem sehe ich jetzt erst, dass Du die Vor. geändert hast. Du hast, wie ich Dir empfohlen habe, \(b_i\) dort geschrieben, aber in die Folgerung hast Du nun ein + eingebaut. Es war nur abzuschreiben!

Außerdem gehen immer noch Vektoren und Zahlen durcheinander (s.o.).

Also: Wir wissen:

Wenn \(b_1v_1+...+b_nv_n=0\) ist, dann muss \(b_1=b_2=...=0\) sein.

Zu zeigen: Wenn \( a_1 v_1+a_2 (v_1-v_2)+a_3(v_1-v_3)+\ldots+a_n (v_1-v_n)=0\), dann ist \(a_1=a_2=...=0\).

Beweis: Sei also \( a_1 v_1+a_2 (v_1-v_2)+a_3(v_1-v_3)+\ldots+a_n (v_1-v_n)=0\), dann ist (das hast Du schon) also:

\(b_1v_1+...b_nv_n=0\) mit \(b_1=a_1+a_2+...a_n\) und \(b_i=-a_i\) für alle \(i=2,...,n\).

Wende nun die Voraussetzung an. Achte auf die Objekte (\(v_i\)  sind Vektoren, \(a_i,b_i\) sind Zahlen).

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Aufgabe b und c finde ich auch komisch, weil ich bei b gezeigt hab, dass alles gleich 0 ist, obwohl es linear abhängig sein soll und bei c, dass alles ungleich 0 ist, obwohl es eine basis bilden soll...

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b) und c) werden klar, wenn Du a) wirklich(!) verstanden hast. Deine Formulierung "....alles gleich 0 ist, obwohl es..." deutet mir eher darauf hin, dass Du die Zusammenhänge noch nicht 100% klar hast (was ist denn "alles", was ist "es"?). Es sind Aussagen zu zeigen. Also: erstmal a) wirklich verstanden, b) und c) sind dann leicht (da helfe ich Dir gerne auch, aber erstmal a) bitte).

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Text erkannt:

Aufgale2 a Voncussetuing:
\( \begin{array}{l} b_{1} v_{1}+b_{2} v_{2}+\ldots+b_{n} v_{n}=0 \Rightarrow b_{1}+\ldots+b_{n}=0 . \\ \xi: a_{1} \cdot v_{1}+a_{2} \cdot\left(v_{1}-v_{2}\right)+\ldots+a_{n}\left(v_{1}-v_{n}\right)=0 \\ \Rightarrow a_{1}+\ldots+a_{n}=0 \\ a_{1} \cdot v_{1}+a_{2} \cdot\left(v_{1}-v_{2}\right)+a_{3} \cdot\left(v_{1}-v_{3}\right)+\ldots+a_{n} \cdot\left(v_{1}-v_{n}\right) \\ \Leftrightarrow a_{1} \cdot v_{n}+a_{2} \cdot v_{1}-a_{2} v_{2}+a_{3} v_{1}-a_{3} v_{3}+\ldots+a_{n} v_{1}-a_{n} v_{n} \\ \Leftrightarrow\left(a_{1}+\ldots+a_{n}\right) \cdot v_{1}-a_{2} v_{2}-a_{3} v_{3}-\ldots-a_{n} v_{n} \end{array} \)
\( \Leftrightarrow b_{1} \cdot v_{1}+b_{2} v_{2}+b_{3} v_{3}+\ldots+b_{n} v_{n} \underset{\text { loul }}{v_{0} r} b_{1} v_{1}+\ldots+b_{n} v_{n}=0 \)
LOabei ist:
\( \begin{aligned} & \Rightarrow b_{1}+\ldots+b_{n}=0 \\ \left.\begin{array}{rl} b_{1}=a_{1}+\ldots+a_{n} \\ b_{i}=-a_{i} \text { fin } i=2, \ldots, n \end{array}\right\} & \Leftrightarrow b_{1}+\left(b_{2}+\ldots+b_{n}\right)=0 \\ & \Leftrightarrow\left(a_{1}+\ldots+a_{n}\right)+\left(-a_{2}-\ldots-a_{n}\right)=0 \\ & \Leftrightarrow a_{1}=0 \end{aligned} \)

Hi nudger, ist das richtig?

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Ich hatte dir Vor. und Beh. aufgeschrieben, aber du hast es nicht richtig abgeschrieben (trotz Hinweis).

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Ich verstehe es nicht AAH xD

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Es steht oben "wir wissen:...", das ist die Voraussetzung. Danach "zu zeigen". Das wollen wir zeigen. Wenn Du das einfach nur richtig abschreibst, kommen wir weiter. Vgl auch mit der Bedingung für "lin. unabh." aus Deinen Unterlagen. Da gibt es erstmal nichts zu verstehen. Das kommt erst danach.

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Text erkannt:

Sufcabe 2. a
Un wisen:
\( \begin{array}{l} b_{1} v_{1}+b_{2} v_{2}+\ldots+b_{n} v_{n}=0 \Rightarrow b_{1}+b_{2}+\ldots+b_{n}=0 \\ z_{2}: a_{1} v_{1}+a_{2}\left(v_{1}-v_{2}\right)+\ldots+a_{n}\left(v_{1}-v_{n}\right)=0 \Rightarrow a_{1}, \ldots, a_{n}=0 \end{array} \)

Bewris:
\( \begin{array}{l} a_{1} v_{1}+a_{2}\left(v_{1}-v_{2}\right)+\ldots+a_{n}\left(v_{1}-v_{n}\right) \\ \Leftrightarrow a_{n} v_{1}+a_{2} v_{1}-a_{2} v_{2}+\ldots+a_{n} v_{1}-a_{n} v_{n} \\ \Leftrightarrow\left(a_{1}, \ldots, a_{n}\right) v_{1}-a_{2} v_{2} \ldots-a_{n} v_{n} \\ \Longleftrightarrow b_{1} v_{1}+b_{2} v_{2}+\ldots+b_{n} v_{n} \end{array} \)
\( G \) Dabie ist:
\( \begin{array}{l} b_{1}=\left(a_{1}, \ldots, a_{n}\right) \\ b_{i}=-a_{i} \text { fin } i=2, \ldots, n \\ b_{1} k_{1}+b_{2} v_{2}+\ldots+b_{n} v_{n} \Rightarrow b_{1}, \ldots, b_{n} \end{array} \)

Das ist jetzt stumpf ageschrieben, wie mache ich da weiter?

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Leider nein, ist es nicht. Die Vor. ("wir wissen") stimmt immer noch nicht. Die "Z.z."-Zeile ist auch nicht stumpf abgeschrieben, aber sinngemäß richtig. Weiterhin, schon mehrfach gesagt: Was soll \(b_1=(a_1,...,a_n)\). Mach Dir klar, was ist Zahl, was ist Vektor (s.o.: "Achte auf die Objekte...".

Danach folgen Terme, die durch \(\iff\) verbunden sind. Passt auch nicht (Terme sind nicht äquivalent, sondern - wenn überhaupt - gleich).

Ich habe Dir gestern den größten Teil der Lösung hingeschrieben. Fängt an mit "Also: Wir wissen:" bis "Wende nun". Wenn Du den Teil nur mal richtig abschreiben würdest...

Den Anfang der Lösung hab ich schon als allererstes in meiner Antwort geschrieben.

Hast Du jemals eine Aufgabe zu lin. unabh. gerechnet, z.B. zeige die folgenden Vektoren .... (konkrete Vektoren) sind lin. unabh.?

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Ich bin verwirrt, warum ist denn die Vor. nicht richtig? Wäre es ok wenn du mir den kompletten Lösungsweg nennst, damit ich verstehe was gemeint ist? Danke für die schnelle Antworten bisher!

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siehe vorigen Kommentar. Schreib das genannte erstmal stumpf ab und verstehe das soweit.

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Text erkannt:

Aufgabe 2. a
Ui wissen:
\( b_{1} v_{1}+b_{2} v_{2}+\ldots+b_{n} v_{n}=0 \Rightarrow b_{1}=\ldots=b_{n}=0 \)

Var: Jede dK der vi, die den Nullueltur ergieff, hamn nue die tiauale sein
\( z_{2}: a_{1} v_{1}+a_{2}\left(v_{1}-v_{2}\right)+\ldots+a_{n}\left(v_{1}-v_{n}\right)=0 \Rightarrow a_{1} \ldots=a_{n}=0 \)

Bewris:
\( \begin{array}{l} a_{1} v_{1}+a_{2}\left(v_{1}-v_{2}\right)+\ldots+a_{n}\left(v_{1}-v_{n}\right)=0 \\ \Leftrightarrow a_{1} v_{1}+a_{2} v_{1}-a_{2} v_{2}+\ldots+a_{n} v_{1}-a_{n} v_{n}=0 \\ \Leftrightarrow\left(a_{1}, \ldots, a_{n}\right) v_{1}-a_{2} v_{2}-\ldots-a_{n} v_{n}=0 \\ \Longleftrightarrow b_{1} v_{1}+b_{2} v_{2}+\ldots+b_{n} v_{n}=0 \end{array} \)
1 Dabi ist:
\( \begin{array}{l} b_{1}=\left(a_{1}, \ldots, a_{n}\right) \\ b_{i}=-a_{i} \text { fin } i=2, \ldots, n \\ b_{1} v_{1}+b_{2} v_{2}+\ldots+b_{n} v_{n}=0 \Rightarrow b_{1}=\ldots b_{n}=0 \\ \Leftrightarrow\left(a_{1} \ldots a_{n}\right)=\ldots=-\left(a_{2}+\ldots+a_{n}\right)=9 \\ \end{array} \)

Erst jetzt habe ich bemerkt, dass ich ich statt ein plus ein Gleichheitszeichen nutzen musste, habe das ständig übersehen! Ist das richtig? Hatte schon paar Aufgaben zur lin. Unabh. aber nur mit konkreten vektoren und nie sowas.

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Wenn Du nicht gründlich liest und die Hinweise nicht beachtest, dauert es eben länger.

Die Zeilen mit Vor./Beh. stimmen nun. Aber immer noch nicht hast Du den genannten Teil stumpf richtig abgeschrieben. Und ich hab Dich mehrmals auf den Fehler hingewiesen. Zuletzt im vorigen längeren Kommentar im ersten Abschnitt...

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Text erkannt:

Aufagabe 2. a
Un wissen:
\( b_{1} v_{1}+\ldots+b_{n} v_{n}=0 \Rightarrow b_{1}=b_{2}=\ldots=b_{n}=0 \)

Var: Jede dK der vi, die den Nuelueltur ergelf, hamn ner die ticuiale sein
\( z_{2}: a_{1} v_{1}+a_{2}\left(v_{1}-v_{2}\right)+a_{3}\left(v_{1}-v_{3}\right)+\cdots+a_{n}\left(v_{1}-v_{n}\right)=0 \Rightarrow a_{4}=\ldots=a_{n}=0 \)

Bewris:
\( \begin{array}{l} a_{1} v_{1}+a_{2}\left(v_{1}-v_{2}\right)+a_{3}\left(v_{1}-v_{3}\right)+\ldots+a_{n}\left(v_{1}-v_{n}\right)=0 \\ \Leftrightarrow a_{4} v_{1}+a_{2} v_{1}-a_{2} v_{2}+a_{3} v_{1}-a_{3} v_{3}+\ldots+a_{n} v_{1}-a_{n} v_{n}=0 \\ \Leftrightarrow\left(a_{1}, \ldots, a_{n}\right) v_{1}-a_{2} v_{2}-a_{3} v_{3}-\ldots-a_{n} v_{n}=0 \\ \Longleftrightarrow b_{1} v_{1}+b_{2} v_{2}+\ldots+b_{n} v_{n}=0 \end{array} \)
\( S \) Dabie ist:
\( \begin{array}{l} b_{1}=\left(a_{1}+a_{2}+\ldots+a_{n}\right) \\ b_{i}=-a_{i} f i n i=2, \ldots, n \end{array} \)
\( \begin{aligned} b_{1} v_{1}+b_{2} v_{2}+\ldots+b_{n} v_{n}=0 & \Rightarrow b_{1}=\ldots b_{n}=0 \\ & \Leftrightarrow\left(a_{1} \ldots a_{n}\right)=\ldots=-\left(a_{2}+\ldots+a_{n}\right)=9 \end{aligned} \)

Jetzt habe ich alle Fehler gefunden oder?

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Nein, in der 3. Zeile im Beweis steht wieder \((a_1,...,a_n)\), wo ist denn das Problem? Ohne gründliches Lesen und Schreiben, d.h. achten auf jedes einzelne(!) Zeichen, bist Du bei Beweisen chancenlos.

Die nächsten Zeilen bis zur vorletzten einschl. stimmen aber. Nur in der letzten Zeile, so kurz vor dem Ende der Aufgabe, schreibst Du wieder falsch ab und stellst Dir damit ein Bein.

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Text erkannt:

Sufgabe 2. a
Un wissen:
\( b_{1} v_{1}+\ldots+b_{n} v_{n}=0 \quad \Rightarrow b_{1}=b_{2}=\ldots=b_{n}=0 \)

Var: Jede dK der vi, die den Nulluellur ergëff, hamn nuer die hiwiale sein
\( z_{2}: a_{1} v_{1}+a_{2}\left(v_{1}-v_{2}\right)+a_{3}\left(v_{1}-v_{3}\right)+\cdots+a_{n}\left(v_{1}-v_{n}\right)=0 \Rightarrow a_{4}=\ldots=a_{n}=0 \)

Bewris:
\( \begin{array}{l} a_{1} v_{1}+a_{2}\left(v_{1}-v_{2}\right)+a_{3}\left(v_{4}-v_{3}\right)+\ldots+a_{n}\left(v_{1}-v_{n}\right)=0 \\ \Leftrightarrow a_{n} v_{1}+a_{2} v_{1}-a_{2} v_{2}+a_{3} v_{1}-a_{3} v_{3}+\ldots+a_{n} v_{1}-a_{n} v_{n}=0 \\ \Leftrightarrow\left(a_{1}+\ldots a_{n}\right) v_{1}-a_{2} v_{2}-a_{3} v_{3}-\ldots-a_{n} v_{n}=0 \\ \Longleftrightarrow b_{1} v_{1}+b_{2} v_{2}+\ldots+b_{n} v_{n}=0 \end{array} \)
\( b \) Dabie ist:
\( \begin{array}{l} b_{1}=\left(a_{1}+a_{2}+\ldots+a_{n}\right) \\ b_{i}=-a_{i} \text { fin } i=2, \ldots, n \\ b_{1} v_{1}+b_{2} v_{2}+\ldots+b_{n} v_{n}=0 \Rightarrow b_{1}=\ldots b_{n}=0 \\ \Leftrightarrow\left(a_{1}+a_{n}\right)=\ldots=-\left(a_{2}+\ldots+a_{n}\right)=9 \\ \end{array} \)

Ups habe ich übersehen, wieso ist denn die letzte Zeile falsch? Hier sind noch die restlichen Aufgaben, sind die richtig?

Text erkannt:

Aufgalee 2.6 lin. abh, wem
(i) mind \( a_{i} \neq 0 \)
(ii) \( a_{1} v_{1}+\ldots+a_{r} v_{r}=0 \)

Blwes:
(i) mind ein \( a_{i}+C \) ) ist erfiell, da \( a_{1}+\ldots+a_{n}=1 v \)
(ii)
\( \begin{array}{l} \text { z: } a_{1}\left(w-v_{1}\right)+\ldots+a_{n}\left(w-v_{n}\right)=0 \\ \Leftrightarrow a_{1} w-a_{1} v_{1}+\ldots+a_{n} w-a_{n} v_{n}=0 \\ \Leftrightarrow\left(a_{1}+\ldots+a_{n}\right) w-a_{1} v_{1}-\ldots-a_{n} v_{n}=0 \\ \Leftrightarrow 1 \cdot w-\left(a_{1} v_{1}+\ldots+a_{n} v_{n}\right)=0 \\ \Leftrightarrow w-w=0 \\ \Leftrightarrow 0=0 \quad \checkmark \end{array} \)

Text erkannt:

Aufgabe 2.c
\( w-v_{1}, \ldots, w-v_{n} \) fillen Busis van \( V \) wem,
(i) Ereagendensystem van \( l \)
(ii) linear unathängy

Beweis:
(i) Jeder Vellor \( v \in V \) laish scich als dimeanhonb schinilen: \( w=a_{1} v_{1}+\ldots+a_{n} v_{n} \in V \) und \( w-v_{1}, \ldots, w-v_{n} \quad \checkmark \)
(ii) Wi wisen:

Kar:
\( \begin{array}{l} a_{1} v_{1}+\ldots+a_{n} v_{n}=0 \Rightarrow a_{1}=\ldots=a_{n}=0 \\ \xi_{1} a_{1}\left(w-v_{1}\right)+\ldots+a_{n}\left(w-v_{n}\right)=0 \Rightarrow a_{1}=\ldots=a_{n}=0 \\ \Leftrightarrow a_{n} w-a_{n} v_{1}+\ldots+a_{n} w-a_{n} v_{n}=0 \\ \Leftrightarrow\left(a_{n}+\ldots+a_{n}\right) w-a_{n} v_{1}-\ldots-a_{n} v_{n}=0 \\ \Leftrightarrow\left(a_{1}+\ldots+a_{n}\right) w-\underbrace{\left(v_{1}+\ldots+a_{n} v_{n}\right.}_{V_{n}: \Rightarrow a_{n}=\ldots})=0 \\ \Rightarrow 0 \cdot w-0=0 \end{array} \)

Nur bei Aufgb 2.c bei (i) weiß ich nicht wie konkret sagen kann: Ja deswegen ist das ein Erzeugendensystem, weil irgendwie ist es doch immer ein Erzeugendensystem. Ansonsten habe ich die Aufgaben jetzt wesentlich besser verstanden.

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Zu a): Du weißt nun \(b_i=0\) für alle \(i\). Zu zeigen ist: \(a_i=0\) für alle \(i\). Dieser Schritt fehlt.

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Zu 2b):
Es sind doch versch. Koeffizienten. Und "mind. ein \(a_i\neq 0\)" macht keinen Sinn zu erwähnen, wenn man noch gar keine \(a_i\) hat.

Die Aufgabe lautet (und gehe bei jedem(!) Beweis so vor):

"Vor.: \(w=a_1v_1+a_2v_2+...+a_nv_n, \, a_1+a_2+...+a_n=1\)

Beh.. \(w-v_1, w-v_2,..., w-v_n\) sind linear abhängig."

Einschub: Das aufzuschreiben ist eine reine Schreibübung, da braucht man noch gar nichts verstehen. Diesen Einschub darfst Du beim Abschreiben weglassen.

Beweis: Z.z. ist also: Es gibt \(b_i\) mit \(b_1(w-v_1)+b_2(w-v_2)+b_n(w-v_n)=0\) mit mind. einem \(b_i\neq 0\). Dann gilt:

\(b_1(w-v_1)+b_2(w-v_2)+b_n(w-v_n)=...\)"

Das ist bis hierhin die Lösung. Schreib das erstmal komplett richtig(!!!) ab. Dann forme um bis Du sagen kannst, was die \(b_i\).

Über 2c) reden wir, wenn 2a) und 2b) fertig sind.