Zeige \Gamma(z) hat Pole erster Ordnung an z=-n mit n=0,1,2 und bestimme die ResiduenHinweis: \Gamma(1-z)=z …

Question

Hallo, ich komme hier nicht weiter:

Zeige \( \Gamma(z) \) hat Pole erster Ordnung an \( z=-n \) mit \( n=0,1,2 \) und bestimme die ResiduenHinweis:\( \Gamma(1-z)=z \Gamma(-z) \)\( \begin{array}{c}\Gamma(1-z) \Gamma(z)=\frac{\pi}{\sin \pi z} \\ \Gamma(1)=1\end{array} \)

Ich habe die Pole in die Formel eingesetzt und kam dann auf drei Widersprüche: Gamma(1)=1≠0=0*Gamma(0), Gamma(2)=1≠-1=(-1)*Gamma(1), Gamma(3)=2≠-2=(-2)*Gamma(2). Allerdings weiß ich nicht genau, wie ich zeigen soll, dass dies Pole erster Ordnung sind und ich weiß nicht wie ich auf die Residuen kommen soll.

Für die Residuen würde ich folgendes machen:

Res(Gamma, 0)=lim z->0 (z-0)Gamma(z) wäre 0.

Res(Gamma, -1)=lim z->-1 (z+1)Gamma(z) wäre auch null.

Res(Gamma, -2)=lim z->-2 (z+2)Gamma(z) wäre auch null..... Also irgendwas mach ich falsch

Comments

Wenn man Pole in einen Funktionsterm einsetzt, stößt man auf Widersprüche. Das war schon in der Schule so und ist Teil der Def. von Pol.

Wie lautet Eure Def. der Gammafunktion?

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Ja, das ist ja genau mein Punkt. Ich hab die eingesetzt um zu zeigen, dass es Pole sind. Allerdings komm ich nichg weiter mit dem zeigen, dass es Pole erster Ordnjng sind und ich weiß nicht wie ich die Residuen finden soll

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Wir haben die Gammafunktion als das Integral von 0 bis undendlich t^z-1 e^-t dt definiert

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Nochmal zum Einsetzen: Nicht-Polstellen kann man natürlich einsetzen. Aber "in die Formel eingesetzt" - in welche denn? In der Aufgabe stehen zwei Formeln, in der Vorlesung weitere. Prüfe genau, welche Formel Du mit welchem z verwendet hast. Dann lösen sich schonmal die Widersprüche auf.

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Ich habe die Polstellen in die Formel Gamma(1-z)=z*Gamma(-z) eingesetzt und so gezeugt, dass es tatsächlich Polstellen sind, da eben Ungleichungen rauskamen.

Nun ist meine Frage, wie ich die Ordnung und die Residuen herausfinde.

Answer 1

Mir ist nicht klar, wie Du von den Widersprüchen (das sind keine Ungleichungen) auf Polstellen schließt. Hast Du einen konkreten Satz der Vorlesung dafür? Und die Formeln im Hinweis gelten für welche z?

Die Residuen kannst Du mit der Formel ausrechnen, so wie Du es versucht hast. Warum Du jeweils 0 als Grenzwert hast, weiß ich nicht. Hast Du einfach hingeschrieben, keine Rechnung erkennbar. Wenn die 0 stimmen würde, wären es ja keine Polstellen erster Ordnung.

Res(0) kannst Du leicht mit der Formel \(G(z+1)=zG(z)\) (siehe Vorlesung) ausrechnen. Für die anderen Residuen muss man wohl die im Hinweis angegebenen Formeln (die sicher nicht an den Polstellen gelten!) geschickt anwenden...

Comments

Es sind Polstellen, weil ja sonst die Gleichungen für Gamma(1-z)=z*Gamma(-z) aufgehen würden, wenn ich sie einsetze. Es ist aber:

Gamma(1)=1≠0=0*Gamma(0),

Gamma(2)=1≠-1=(-1)*Gamma(1),

Gamma(3)=2≠-2=(-2)*Gamma(2).

Also müssen es Polstellen sein.

In meiner Vorlesung steht nichts über das ausrechnen von Residuen oder der Ordnung von Gammafunktionen.

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Wieder schreibst Du G(0), es gibt kein G(0).

Wenn in Deiner Vorlesung nichts über das Ausrechnen von Residuen steht, woher hast Du dann die Formel, die Du am Ende Deiner Frage anwendest? Ist die aus der Vorlesung oder nicht?

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Es ist mir schon klar, dass es kein G(0) gibt, genau das ist ja was ich in der Aufgabe zeigen soll.... Was aber schon gilt ist die Gleichung Gamma(1-z)=z*Gamma(-z). Wenn ich annehme, dass die Funktion in z=0 definiert ist, müsste diese Gleichung aufgehen. Da sie es aber nicht tut, habe ich gezeigt dass es eine Polstelle ist.

Und ja, ich hatte die anderen Formeln in der Vorlesung. Ich sehe aber keinen Zusammenhang zum Residuum. Ich wäre dir dankbar, wenn du mir da auf die Sprünge helfen könntest. Und bitte sag nicht "schau in die Vorlesung", denn da steht nix von Residuen der Gammafunktion

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Achso, ich weiß jetzt was du meinst.

Also quasi:

Res(Gamma, 0)=lim z->0 (z-0)Gamma(z)= lim z->0 Gamma(z+1) was 1 wäre, oder?

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Ja, aber nicht "... was wäre....", sondern math. Notation verwenden (...=...=1).

Zu den anderen Residuen hab ich oben schon was gesagt, aber selbst noch keinen Weg ausprobiert.

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Hier https://proofwiki.org/wiki/Residue_of_Gamma_Function

gibt es eine Herleitung für Res(-n) allgemein.

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Ich komm nicht drauf, habe jetzt so angefangen:

Res(-1)=lim z->0 (z+1) G(z)

(z+1)G(z)=zG(z)+G(z)=G(z+1)+G(z)

Aber komme nicht wirklich weiter

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(z+1)G(z)=zG(z)+G(z)=G(z+1)+G(z) geht nicht, weil G(z) für z=-1 nicht definiert ist. Siehe obigen Tipp, dazu brauchst Du auch den Hinweis gar nicht, nur einen Trick.

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Ah sehe den Link erst jetzt, damit geht's, danke dir!

Jetzt fehlt mir nur noch, wie ich die Ordnung der Pole herausfinden kann

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\(Res\neq 0\) bedeutet Polstelle. Wenn die Ordnung mehr als 1 wäre, würde der Limes aus den obigen Formeln $\infty$ geben.

Mach Dir mal klar, was das alles bedeutet - schreib mal eine simple, fiktive Laurent-Reihe hin, egal welche, Summe dabei ausschreiben. Dann nutze die obigen Res-Formeln, dann siehst Du sofort, was passiert. Mach es!

Answer 2

Wir fixieren mal ein \(z_0\leq 0,z_0\in\mathbb{Z}\) und fragen uns, wie wir \(\Gamma(z)\) schreiben können für reelle \(z\neq z_0,|z-z_0|<\varepsilon\) und sehr kleine \(\varepsilon>0\). Bemerke, dass für \(\varepsilon<1\) die Reflektionsformel angewendet werden darf, da \(z\) und \(1-z\) keine Ganzzahl sein können.

Die Reflektionsformel ergibt also \(\Gamma(z)=\frac{\pi}{\Gamma(1-z)\sin(\pi z)}\). Jetzt können wir nutzen, dass für positive reelle Zahlen die Gammafunktion einfach als stetiges konvergentes Integral gegeben ist, d.h. wir sind können \(\Gamma(-z+1)\) für \(\varepsilon\) klein genug Abschätzen, z.B. \(0<c\leq \Gamma(-z+1) \leq C\). Diese Abschätzung ist natürlich abhängig von \(z_0\).

Das angewandt auf die Reflektionsformel ergibt \(\frac{\pi}{C}\frac{1}{\sin(\pi z)} \leq \Gamma(z) \leq \frac{\pi}{c}\frac{1}{\sin(\pi z)}\) bzw. die Umkehrung davon, wenn der Sinus das Vorzeichen wechselt. Aus der Ungleichung folgt sofort, da die Sinusfunktion Nullstelle erster Ordnung in \(z_0\) hat, dass unsere Funktion Polstellen erster Ordnung in \(z_0\) hat.

Für die Residuen: Du hast ja eine Formel für das Residuum eines einfachen Pols. Wende dort auf \(\Gamma(z)\) die Rekursionsformel \(z_0\) mal an.