Satz des Pythagoras Beweis mit gleichseitigen Dreiecken

Question

Aufgabe:

Ein rechtwinkliges Dreieck ABC mit zwei Katheten und einer Hypotenuse ist gegeben. An
allen Seiten wurden jeweils gleichseitige Dreiecke angelegt. Zeigen Sie, dass die Summe
der Flächeninhalte der beiden gleichseitigen Dreiecke über den die Katheten dem Flä-
cheninhalt des gleichseitigen Dreiecks der Hypotenuse entspricht.

Problem/Ansatz:

Wie kann ich das zeigen? Kann es leider nur mit Quadraten über dem Dreieck zeigen. Mit Dreiecken habe ich leider keinen Ansatz. Über Hilfe wäre ich sehr dankbar.

Answer 1

Ein gleichseitiges Dreieck mit der Seitenlänge a hat den Inhalt \( \frac{\sqrt{3}}{4} \)a².

Ein gleichseitiges Dreieck mit der Seitenlänge b hat den Inhalt \( \frac{\sqrt{3}}{4} \)b².

Ein gleichseitiges Dreieck mit der Seitenlänge c hat den Inhalt \( \frac{\sqrt{3}}{4} \)c².

Beantwortet das deine Frage?

Comments

So könnte ich es rechnerisch zeigen. Wie könnte ich es grafisch zeigen?

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Der Proportionalitätsfaktor √3/4 ist völlig irrelevant, deshalb trifft die Aussage auch auf regelmäßige 11-Ecke zu, bei denen man ihn nicht zwangsläufig aus dem Ärmel schütteln kann.

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Wie könnte ich es grafisch zeigen?

Mach dir dazu eine Skizze!

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Habe ich gemacht. Weiß leider trotzdem nicht wie ich das damit zeigen könnte. Möglicherweise die Eckpunkte zu einem Quadrat verbinden?

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Die Formel zur Flächenberechnung der Dreiecke kannst du selber aufstellen.

über a: (a/2)^2+ h^2 = a^2 

h^2 = (3/4)*a^2

h= 1/2*√3*a

A= a*h/2 = √3/4*a^2

analog für b und c (siehe abakus)

Ich wüsste nicht, was du sonst noch tun könntest. Du landest beim Satz des Pythagoras,

den du sicher nicht beweisen sollst.

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1. Höhe einzeichnen, die Flächen der beiden kleinen Dreiecke sind zusammen so groß wie die des großen, alle drei Dreiecke sind ähnlich.
2. Dreiecke nach außen spiegeln, blau + grün = rot.
3. Dreiecke zu gleichschenkligen Dreiecken scheren ändert Flächeninhalte nicht.
4, Wegen der Ähnlichkeit haben alle Dreiecke dasselbe Verhältnis von Basis zu Höhe. Eine Streckung mit diesem Verhältnis in h-Richtung vollendet den Beweis.

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Auf das muss man erst mal kommen. Chapeau mal wieder!

Sie sind mal wieder der letzte Helfer in der Not.

Was war Ihre Grundüberlegung bzw. der Ausgangspunkt des Ansatzes?

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Ein kritischer Blick statt deiner Lobhudelei hätte dich vielleicht den Fehler in meinem Kommentar bemerken lassen.

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Mir ist nichts aufgefallen, welchen Fehler?

Die Illustration ist jedenfalls schön.

Ein Mann ist mit einer Mathematikerin verheiratet. Er kommt nach Hause, schenkt seiner Frau einen großen Strauß Rosen und sagt: "Ich liebe Dich!".Sie nimmt die Rosen, haut sie ihm um die Ohren, gibt ihm einen Tritt und wirft ihn aus der Wohnung. Was hat er falsch gemacht? Er hätte sagen müssen: "Ich liebe Dich und nur Dich!"

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Die Streckung im letzten Schritt als Beweisabschluss finde ich nicht so einsichtig.

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Der von mir angegebene Streckfaktor war in der Tat falsch.
Bezeichnet k das (für alle drei Dreiecke gleiche) Verhältnis der Kathetenlängen, so ist dieser Faktor √3/2*(k+1/k), aber sein Wert ist nicht so entscheidend wie die Tatsache, dass es ihn überhaupt gibt.