Hallo ich habe diese Aufgabe aus einer Altklausur, ich würde mich freuen, wenn jemand seine Ideen und Ansätze teilen könnte.
Sei \( f \) mit \( \int \limits_{-\infty}^{\infty} f(x) d x<\infty \) (Möglicherweise war \( f \) auch holomorph. Das weiß ich aber nicht mehr ganz)
\( g: \operatorname{Re}(z)>0 \rightarrow \mathbb{C} ; z \mapsto \int \limits_{-\infty}^{\infty} \frac{f(x)}{x-z} d x \)
Zeige, dass es eine holomorphe Funktion G gibt, die in der oberen Halbebene mit \( g \) übereinstimmt und in der unteren Halbebene gilt
\( G(z)=\int \limits_{-\infty}^{\infty} \frac{f(x)}{x-z} d x-2 \pi i f(z) \)
Hinweis: integriere über eine geeignete Kontour (Krieg den Wortlaut nicht mehr zusammen, aber es war was in die Richtung)
