Maximumsprinzip durch Schwarzsches Lemma herleiten

Question

Hallo, ich habe eben eine Aufgabe bearbeitet, in der ich vom schwarzschen Lemma auf das Maximumsprinzip geleitet habe. Ich frage mich, ob das andersherum auch geht.

Man muss ja zeigen, dass wenn f eine holomorphe Funktion auf einem beschränkten, einfach zusammenhängenden Gebiet G ist,∣f(z)∣ in G sein Maximum auf dem Rand von G annimmt, außer f ist konstant.

Ich weiß aber nicht so ganz, woe ich da vorgehen soll.

Danke für die Hilfe

Comments

Was meinst du mit "andersherum"? Du was du geschrieben hast, ist wäre ja ein Beweis des MMP.

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Ist deine Frage mittlerweile geklärt? Etwas Rückmeldung wäre hilfreich, vor allem da du ja auch fleißig Fragen stellst.

Answer 1

Richtig geile Aufgabe hast du da - sei f(0)=0 und $$f: \overline{\mathbb{D}} \to \overline{\mathbb{D}}$$ eine stetige und auf der offenen Kreisscheibe holomorphe, nicht konstante Funktion. Da die Funktion nicht konstant ist, betrachten wir
$$ g=\frac{f}{\max_{x \in \overline{\mathbb{D}}}|f|} $$

und erreichen somit, dass $$\max_{x \in \overline{\mathbb{D}}}|g|=1$$. Angenommen, wir haben $$|g(z_0)|=1$$ für einen Punkt in der inneren Kreisscheibe, dann verletzt dies die Aussage des Schwarz-Lemmas, da
$$ 1=|g(z_0)| \leq |z| < 1 $$

gelten muss. Damit muss f bereits konstant gewesen sein. Die Bedinung f(0)=0 wirst du durch einen holomorphen Automorphismus des Einheitskreises los. Um dies auf allgemeinere Gebiete auszuweiten benötigst du den Riemmanschen Abbildungssatz.