Holomorph - Einheitskreis - Scheibe - Maximumsprinzip

Question

Es sei $f$ holomorph auf der Einheitskreisscheibe $B_{1}(0)$ und es gelte $|f(z)|=1$ für $|z|=1$. Weiterhin sei $f(0)=0$ die einzige Nullstelle und von der Ordnung $k \in \mathbb{N}$. Zeigen Sie, dass dann
$$f(z)=c z^{k}, \quad|z| \leq 1$$
mit $|c|=1$ gilt. Hinweis: Das Maximumsprinzip könnte hier hilfreich sein.