Geben Sie eine sinnvolle Menge Ω an.

Question

Aufgabe:

Aufgabe 2

(a) In einer Urne befinden sich Kugeln, die jeweils mit 1, 2, 3, 4 oder 5 nummeriert sind. Jede Ziffer kommt genau 3 mal vor, d.h. es befinden sich insgesamt 15 Kugeln in der Urne. Nun werden rein zufällig drei Kugeln aus der Urne ohne Zurücklegen gezogen.

(j) Das obige Experiment soll mit Hilfe einer Ergebnismenge Ω modelliert werden. Geben Sie eine sinnvolle Menge Ω an und erklären Sie die Interpretation der Elemente von Ω für das Experiment.

(ii) Macht es Sinn, das Experiment als Laplace-Raum zu modellieren? Begründen Sie.

(iii) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass in allen drei Zügen eine Kugel mit einer 5 gezogen wird.

Problem/Ansatz:

Was kommt bei i) hin? Das ist doch Ohne Zurücklegen und ohne Reihenfolge oder?

Und dann habe ich die Mächtigkeit ausgerechnet als „sinnvolle Menge“, bin mir nur nicht sicher, ob ich den richtigen Fall genommen habe.

Answer 1

Die Ergebnismenge ist sinnvoll, wenn alle relevanten Ereignisse Teilmengen der Ergebnissmenge sind.

Auf der sicheren Seite bist du, wenn du die Kugeln künstlich unterscheidbar machst, mit Zurücklegen und mit Reihenfolge rechnest. Dazu wird auf die Kugeln zusätzlich ein \(\mathrm a\), \(\mathrm b\) oder \(\mathrm c\) so gemalt, dass keine zwei Kugeln die gleiche Zahl und den gleichen Buchstaben haben.

        \(\Omega_1 = \left(\left\{\mathrm a,\mathrm b,\mathrm c\right\}\times\{1,2,3,4,5\}\right)^3\).

Nachteil ist, dass es sich dann nicht um ein Laplace-Experiment handelt. Zum Beispiel ist \(P(\{((\mathrm a,1),(\mathrm a,1),(\mathrm a,1))\}) = 0\).

Das kann man aber reparieren:

        \(\Omega = \left\{(x,y,z)\in \Omega_1|\ \left|\{x,y,z\}\right|=3\right\}\).

Answer 2

i)

In der Ergebnismenge Ω sind z.B. alle Möglichen Ziehungen von 3 Kugeln enthalten.

Ω = {111, 112, 113, 114, 115, 121, ..., 555}

Ω = {1, 2, 3, 4, 5}^3

Comments

Aber hätte ich auch hier n über k rechnen können? Also die Mächtigkeit?

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Es ist nach der Menge gefragt und nicht nach deren Mächtigkeit.

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Die Mächtigkeit wäre auch Irreführend, weil

P(111) = 3/15 * 2/14 * 1/13 = 6/2730

P(123) = 3/15 * 3/14 * 3/13 = 27/2730

Es handelt sich hier nicht um ein Laplace-Experiment, bei dem jeder Ausgang die gleiche Wahrscheinlichkeit hat.