Ist das dann die plückersche form der Geraden?

Question

Seien \( A=(1,-2,4)^{T}, B=(0,3,-1)^{T}, C=(1,1,5)^{T}, P=(4,5,1)^{T}, \underline{a}=(1,1,1)^{T}, \underline{b}=(1,3,0)^{T} \), \( \underline{c}=(1,4,0)^{T}, \underline{d}=(1,1,0)^{T} \) sowie \( g_{1}: X=A+\lambda \underline{a}, g_{2}: X=B+\mu \underline{b}, \varepsilon_{1}: X=C+\lambda \underline{a}+\mu \underline{b}, \varepsilon_{2}: x+3 y-z=2 \). Man berechne:varepsilon_{1} \),
(b) die Plückersche Form der Geraden \( g_{2} \),

Problem/Frage:

Ich muss also den Richtungsvektor der Geraden minus den punkt der Geraden nehmen und dann den Vektor mit dem Richtungsvektor das kreuzprodukt machen. Ist das dann die plückersche form der Geraden?

Answer 1

Würde die Plücker-Form nicht wie folgt aussehen:

$$\left( \begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 0\\3\\-1 \end{pmatrix} \right) \times \begin{pmatrix} 1\\3\\0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0\\0\\0 \end{pmatrix} \newline$$

oder noch vereinfacht

$$\begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 1\\3\\0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3\\-1\\-3 \end{pmatrix}$$

Comments

Im Skript steht: Ist |a| = 1, so heißt PX × a = 0 Plückersche Normalform von g.

Ist dein Ergebnis dann nicht falsch, weil der Betrag des Richtungsvektors a nicht = 1 ist?

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b) die Plückersche Form der Geraden g2,

Ist hier nach der "Plückersche Form" oder nach der "Plückersche Normalform" gefragt?

Das ist ein kleines, aber wichtiges Detail.

Und vielleicht willst du dich noch einmal darin üben, eine verbale Beschreibung aufzuschreiben. Das finde ich für ein eigenes Formel und Regelheft wichtig.

Die Plückersche Form einer Geraden im R^3 erhält man, indem man ...

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nach der Plückerschen Form ist gefragt.

Ich habe nun auch im Skript eine Definition dazu gefunden:

PX x a = 0

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Ja, genau.

Plückersche Geradengleichung

PX × a = 0
(X - P) × a = 0
X × a = P × a

Ebenengleichung

PX · n = 0
(X - P) · n = 0
X · n = P · n

Beachte auch, dass in der Geradengleichung die 0 der Nullvektor ist und in der Ebenengleichung eine einfache Null.

Answer 2

Ich muss also den Richtungsvektor der Geraden minus den punkt der Geraden nehmen und dann den Vektor mit dem Richtungsvektor das kreuzprodukt machen.

Verbale Beschreibungen sind oft missverständlich, dafür gibt es ja math. Notation. Verwende letztere.
Eine korrekte verbale Beschreibung wäre:
"Ich muss also den Ortsvektor des allgemeinen Punkts der Geraden minus den Ortsvektor des geg. Punktes der Geraden nehmen und dann aus diesem
Vektor mit dem Richtungsvektor das kreuzprodukt bilden und dieses =Nullvektor setzen." (editiert nach Hinweis)

Comments

Eine korrekte verbale Beschreibung wäre:
"Ich muss also den Richtungsvektor der Geraden minus den Ortsvektor des Punktes der Geraden nehmen und dann aus diesem
Vektor mit dem Richtungsvektor das kreuzprodukt bilden und dieses =Nullvektor setzen."

Ist meine Plücker-Form verkehrt oder deine Beschreibung? In deiner Beschreibung tauchen doch nicht mal Unbekannte auf oder sehe ich das falsch?

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Meine Umschreibung war falsch, weil ich einen weiteren Fehler des FS nicht korrigiert habe.