Berechnen Sie die Länge des parametrisierten Kurvenstücks

Question

Aufgabe:

Gegeben ist das parametrisierte Kurvenstück \( c \) mit

\(\displaystyle \vec{\gamma}(t)=\binom{\frac{1}{2}-2 t^{2}}{1-\frac{4}{3} t^{3}}, \quad t \in\left[-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right] . \)

a) Berechnen Sie die Länge des parametrisierten Kurvenstücks.

Ergebnis.

a) Vorsicht: Für \( t \in \mathbb{R} \) gilt generell, dass \( \sqrt{t^{2}}=|t| \). Man erhält als Bogenlänge:

\(\displaystyle L=\frac{8}{3}\left(\left(\frac{5}{4}\right)^{\frac{3}{2}}-1\right) \)

Problem/Ansatz:

Hallo, es geht hier nur um Teilaufgabe a). Ich weiß wie man eine Bogenlänge berechnet, komme jedoch auf eine komplett andere Lösung, nämlich L=1/3.

Kann mir jemand sagen, wie man auf diese Lösung kommt, bzw einen Lösungsweg zeigen? Vielen Dank im Voraus

Text erkannt:

\( \begin{array}{l}\text { AS } \vec{\gamma}(t)=\binom{\frac{1}{2}-2 t^{2}}{1-\frac{4}{3} t^{3}} \\ \text { a) } L=\int \limits_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}}\|\dot{\vec{\gamma}}\| d t \quad \dot{\vec{\gamma}}=\binom{-4 t}{-4 t^{2}} \\ \|\dot{\vec{\gamma}}\|=\sqrt{16 t^{2}+16 t^{4}}=4 t+4 t^{2} \\ 4 \int \limits_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} t+t^{2} d t=2 t^{2}+\left.\frac{4}{3} t^{3}\right|_{-\frac{1}{2}} ^{\frac{1}{2}}=\frac{1}{2}+\frac{1}{6}-\frac{1}{2}+\frac{1}{6}=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}\end{array} \)

Comments

Zur Kontrolle der Lösung und weil's so schön ist, hier das Bild zur Aufgabe:

https://www.desmos.com/calculator/7dk3b9svjk

\(\vec{\gamma}(t)\) ist die rote Kurve

---

Man könnte auch auf die Idee kommen die Lösung einfach mal mit einem Rechenknecht wie Wolframalpha zu vergleichen

https://www.wolframalpha.com/input?i=integral_%28-1%2F2%29%5E%281%2F2%29sqrt%2816t%5E4%2B16t%5E2%29dt

$$\int \limits_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \sqrt{16 t^{4}+16 t^{2}} d t=\frac{1}{3}(5 \sqrt{5}-8) \approx 1.0601$$

oder direkt den beliebten https://www.integralrechner.de zu bemühen.

Answer 1

Es ist \(\sqrt{a+b}\neq \sqrt{a}+\sqrt{b}\). Es hätte Dir merkwürdig vorkommen können, dass Du den Hinweis gar nicht benötigst...

Answer 2

Aloha :)

Zur Berechnung der Länge der Kurve$$\vec r(t)=\left(\begin{array}{c}\frac12-2t^2\\[1ex]1-\frac43t^3\end{array}\right)\quad;\quad -\frac12\le t\le\frac12$$

hast du den richtigen Ansatz gewählt:$$\ell=\int\limits_{-!/2}^{1/2}dr=\int\limits_{-1/2}^{1/2}\left\|\frac{d\vec r}{dt}\right\|\,dt=\int\limits_{-1/2}^{1/2}\left\|\left(\begin{array}{c}-4t\\[1ex]-4t^2\end{array}\right)\right\|\,dt=\int\limits_{-1/2}^{1/2}\sqrt{16t^2+16t^4}\,dt$$

Bis dahin ist deine Rechnung korrekt. Nun hast du aber die Wurzel völlig falsch gezogen:$$\ell=\int\limits_{-1/2}^{1/2}\sqrt{16t^2}\cdot\sqrt{1+t^2}\,dt=\int\limits_{-1/2}^{1/2}4|t|\cdot\sqrt{1+t^2}\,dt$$$$\phantom\ell=\int\limits_{-1/2}^04(-t)\sqrt{1+t^2}\,dt+\int\limits_0^{1/2}4t\sqrt{1+t^2}\,dt$$$$\phantom\ell=-2\int\limits_{-1/2}^02t\cdot\left(1+t^2\right)^{1/2}dt+2\int\limits_0^{1/2}2t\cdot\left(1+t^2\right)^{1/2}dt$$

Die Integrale kann man nun sofort hinschreiben, da die innere Ableitung \((2t)\) von \(\left(1+t^2\right)^{\frac12}\) als Faktor im Integranden auftaucht:$$\ell=-2\left[\frac23\left(1+t^2\right)^{3/2}\right]_{-1/2}^0+2\left[\frac23\left(1+t^2\right)^{3/2}\right]_{0}^{1/2}$$$$\phantom\ell=-\frac43\left(1-\left(\frac54\right)^{3/2}\right)+\frac43\left(\left(\frac54\right)^{3/2}-1\right)=\frac83\left(\left(\frac54\right)^{3/2}-1\right)$$$$\phantom\ell=\frac83\left(\frac54\cdot\frac{\sqrt5}{2}-1\right)=\frac{5\sqrt5-8}{3}$$