Länge des Bogens berechnen

Question

Hallo

In der folgenden Aufgabe solle ich ich die länge des Bogens der Funktion V von x=-2 bis x=2 berechnen wie auch die eingeschlossene Flaeche die zu sehen ist. Die eingeschlossene Fläche denke koennte ich berechnen. Ich wuerde es super finden wenn jemand mir die nur die Lösungen sagen koennte ohne Rechenweg ! Ich moechte es selber versuchen und brauch etwas zur Kontrolle um sicher gehen zu koennen. Bei der Berechnung des Bogens wäre es nett paar Tipps oder Richtungen geben zu koennen da ich dies noch nie gemacht habe und wir es erst demneachst in der Klasse machen werde wollte jedoch schon vorarbeiten . Also Lösungen + kleine Denkanstoesse wären echt nett. Will es auf jeden Fall alleine rechnen und verstehen :)

Gruß Oliver

Answer 1

Schau mal unter

https://de.wikipedia.org/wiki/Länge_(Mathematik)

Comments

Also zur Kontrolle:

∫(√(1 + f'(x)^2), x, -2, 2) = 4.233 LE

Ich hoffe ihr dürft das mit einem CAS rechnen.

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Ich dank dir für die schnelle Antwort. Ich setzt mich mal hin und versuchs.

Wegen der Flaechenberechnung wuerde ich jetzt sagen h(x) und f(x) gleichstellen dann 0 setzen und die Flaeche von x=0 bis x=2 mit dem Integrall berechnen und dann einfach mal 2 nehmen da es ja Achsensymmetrisch ist und fertig . Richtig ?

Gruß Oliver

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Vermutlich nur 2 * ∫ (0 bis 2) (h(x) - f(x)) dx

Warum sind an den Stellen -2 und 2 die einzigen gemeinsamen Punkte?

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Ist eine Teilaufgabe.

Wir hatten zuerst nur die die Funktionen f(x) und g(x) gegeben gehabt. Diese sollen 2 Straßen darstellen und gesucht war die Funktion h(x) um die 2 Straßen zu entlasten.

Die Funktion h(x) mündet an den Stellen x=-2 und x=2 und sollte Knick wie auch Krümmungsfrei sein.

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Ja. Das war mir eigentlich schon klar.

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Hallo Der_Mathecoach

Flaecheninhalt betraegt 0,4FE . Zumindest laut meinem Ergebnis.

Aber von der Bogenlänge habe ich noch nichts ! Habe mir auch mehrere Videos angeguckt was leider nicht geholfen hat.

Meine funktion lautet ja f(x) -1/128*x4 + 0.1875*x2 + 0.375.

f´(x) -0,03125x^3+0,375x.

Die Ableitung nun in die Formel einsetzen.

(-0,03125x^3+0,375x)*(-0,03125x^3+0,375x)=9,7656e-4x^6-0,023437x^4+0,14062x^2+1

Die + 1 am Ende kommt ja von der Formel.

Wäre das soweit richtig ? Jetzt habe ich auch keine Ahnung mehr was ich als neachstes machen muesste. Alleine das " e " verwiirt mich schon :/. Ich weiß nicht wie oder was ich jetzt genau in den Taschenrechner eingeben muss . Habe einigies versucht aber bei mir kommt immer nur Bulls..... raus .

Koenntest du mir nochmal etwas unter die Arme greifen ?

Gruß Oliver

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∫(√(19,7656e-4x6-0,023437x4+0,14062x2+1 ) * dx

Korrektur

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Warum machst du keinen Vergleich z.B. mit Wolframalpha

https://www.wolframalpha.com/input/?i=1%2B((-0.0078125x%5E4%2B0.1875x%5E2%2B0.375)%27)%5E2

Dann siehst du das du da noch einen Fehler hast.

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Hey Der_Mathecoach

Ich dank dir für deine Muehe und deine Zeit jedoch bekomme ich es nicht hin !

Gruß Oliver

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Es wäre natürlich gut wenn du schreibst was du nicht hin bekommst. Du kannst selber jeden Deiner Schritte mit Wolframalpha vergleichen.

Hast du ein CAS?

Ansonsten ist das entstehende Integral wohl schwer zu bestimmen.

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Nach dem anwenden der Binomischen Formel und dann Aufleiten der Funktion weiß ich nicht was zu machen ist ! Wie gesagt ich arbeite vor und langsam bin ich mir unsicher ob wir das ueberhaupt koennen mussen ! Ich muss jetzt erstmal nachlesen was Kettenregeln sind und wie das Substitutionsverfahren hier ablaeuft . Und stammfunktion mit wurzel auch leider keine ahnung von !

Und ich habe nur einen Texas Ti-84 Plus

Ich bleib auf jeden Fall an der AUfgabe dran da ich es ja selber verstehen oder zumindest rechnen koennen kann

Und mit der Seite Wolframalpha komm ich nicht weit ! Versteh die Seite nicht ganz also was ich wie wo eingeben muss !

Vielleicht koenntest du doch den Rechenweg aufschreiben wenn dass nicht zu viel ist dass ich etwas vor Augen habe. Wollte es ja alleine versuchen aber denke mein aktuelles wissen reicht nicht aus

Gruß Oliver

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Korrektur

Ich weiß nicht mehr weiter nach dem anwenden der Binomischen Formel da ich gar nicht direkt Aufleiten darf oder nicht so wie ich es kenne ! 

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Eigentlich ist so eine Aufgabe für einen CAS Taschenrechner. Ich denke nicht das ihr das selber integrieren müsst. Eventuell Numerisch näherungsweise lösen.

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Aber was muesste ich denn jetzt machen ? Wuerde die Aufgabe halt gerne geloest bekommen . Bin jetzt halt soweit den term unter der Wurzel stehen zu haben. Koenntest du paar Schritte sagen die meine neachsten waeren ?

Wuerde mich schon freuen wenn ich die Aufgabe geloest bekomme und wenn es mit hilfe ist !

Hilfreiche tipps oder sonstiges waere nicht schlecht.

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wenn Wolframalpha da keine Stammfunktion findet warum meinst du es zu können

https://www.wolframalpha.com/input/?i=integral+sqrt(0.000976563+x%5E6+%2B+x%5E4×(-0.0234375)+%2B+0.140625+x%5E2+%2B+1)

Das ist keine Aufgabe für dich um es per Hand zu integrieren. Bitte sage in welchem Kontext die Aufgabe gestellt ist. Hausaufgabe, PL und wie die exakte Aufgabenstellung lautet.

Du kannst hier ja sicher die Bogenlänge auch näherungsweise bestimmen.

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Die Aufgabe ist keine Hausaufgabe oder sonstiges. Letzte Stunde wurde halt besprochen wie die gesuchte Funktion aussieht h(x) mit Hilfe der beiden geraden.

Zwei geradlinig verlaufende Straßen bilden an ihrer Kreuzung einen winkel alpha von etwa 53°. Diese Kreuzung soll durch ein zusaetzliches Straßenstueck entlastet werden . Die Situatuin kann in einem geeigneten Koordinatensystem durch zwei Geraden und eine Verbindungskurve V ( hier unsere Funktion h(x) ) dargestellt werden . Dabei Soll die Verbindungskurve h(x) durch den Graphen einer funktion" k " beschrieben werden. h muendet an den Stellen -2 und 2 ohne Knick und ohne Kruemmungssprung in die Geraden ein und endet dort

Auf dem Blatt steht noch als Hinweis:

Es könnte noch

1. die Fläche zwischen f(x) , g(x) und h(x)

2. die Länge des Bogens h(x)

Anschließend kam die Frage wie denn die länge berechnet wird weil dies eigentlich zuerst nicht unsere Aufgabe war. Der Lehrer meinte dies wird neachste Woche besprochen und wollte daher vorarbeiten.

Da es mit einem TI-84 Plus anscheind nicht geht dachte ich koennte es per Hand versuchen.

Wie koennte ich denn die Bogenlaenge naeherungsweise bestimmen ?

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Du teilst den Bogen in kleine Stücke auf die Du durch geraden Näherst. Deren Länge kannst du über den Satz des Pythagoras bestimmen.

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So wie ich dass jetzt sehe zumindest bei youtube ist dies ja die Formel

√(1+f´(x))^2*dx

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Ja. Das ist auch völlig korrekt. Und das kann auch ein CAS so berechnen. Nur du nicht weil du keine Stammfunktion findest. Ein CAS nähert das auch nur an.

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Also habe ich gar keine andere Wahl als das mit dem Taschenrechner zu rechnen ?
Und geht das nur mit einem CAS oder auch mit einem TI-84Plus ?
Waere ja schon etwas " schade " wenn ich das nicht mit meinem rechnen koennte!

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Der TI sollte das Integral was du hast auch numerisch lösen können. Gib es doch einfach mal ein.

∫ (-2 bis 2) √((3/8·x - 1/32·x^3)^2 + 1) dx = 4.232638044

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Noch nie gemacht. Deswegen die Frage.

Aber werde ich bestimmt finden mit dem Internet.

Erstmal danke vorab

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Endlich ! Habe endlich 4.2326..... in meinem Taschenrechner stehen !

Ich dank dir vielmals für deine Zeit und Geduld. Hast mit auf jeden Fall helfen koenn :)

Gruß Oliver

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Bei mir im Lehrbuch steht
∫ √ ( 1 + [ f ´( x ) ] ^2 ) dx

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Ja deine ist richtig .

Habe meine nur schnell hingeschrieben weil ja gewusst wurde was gemeint ist

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Die Hauptsache :
Die Rechnerei hat für dich ja noch ein zufriedenstellendes Ende gefunden.

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Ich sags mal so . Ich bereue nichts.

Aber saß da echt lange dran und am ende ist es halt nur erste Ableitung und im Taschenrechner reinkloppen gewesen !

Fuehlt sich für mich nicht richtig an . Wuerde es gerne auch zu Fuß koennen aber dies scheind sehr schwer bis nicht machtbar zu sein .

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Ich hatte glaube ich erst zwei Aufgaben für die Berechnung einer Bogenlänge die ich ganz ohne TR im Kopf rechnen konnte.