Eigenschaften von Urbildern

Question

Sei \( F \) der Vektorraum aller Polynome in \( x \) mit reellen Koeffizienten. Die Abbildung \( f: F \rightarrow \mathbb{R}^{4} \) sei gegeben durch
\( \forall t(x) \in \mathbb{R}[x] \quad f(t(x)):=\left(t(0), t^{\prime}(0), t^{\prime \prime}(0), t^{\prime \prime \prime}(0)\right)^{T} . \)
(a) Beweise, dass \( f \) lineare Abbildung ist!
(b) Bestimme \( \operatorname{Ker} f \) !
(c) Welche Eigenschaften haben die Urbilder von
\( (a)(1,0, a, b)^{T}, \quad(b)(-3, c, 0, d)^{T} \text { mit } a>0, d>0 \text { ? } \)
(d) Bestimme die Menge der Elemente von \( F \), die als Bild \( (-8,4,-1,2)^{T} \) und den Grad 3 haben!

Frage: Was genau ist bei c) und d) gefragt? Soll ich bei c) ein Polynom bestimmen oder zb injektivität zeigen?

Answer 1

Wenn f(x)=y ist, heißt y das Bild zu x und x das Urbild zu y.

Vektoren aus dem R^4 sind gleich, wenn alle vier Koordinaten gleich sind.

c) Es sind y's gegeben, rechne also die x'e aus und beantworte dann die Frage dazu. Fang an.

d) Setze die genannte Bedingung um und rechne.

Comments

Danke, ist die Fragestellung nicht dann in die Irre führend? weil unter Eigenschaften verstehe ich eher Sachen wie injektiv surjektiv bijektiv zeigen?

---

Du nennst Eigenschaften von Abbildungen. Es geht um Eigenschaften von Urbildern, das sind die x-Werte, die sind hier Polynome. Fang an, dann siehst Du es schon.