Wie vereinfacht man die 2. Ableitung von f(x) = sin(x) / x?

Question

Das ist die 2. Ableitung von sin(x)/x und ich verstehe nicht wie ich das ganze vereinfache:

\( =\frac{-x \sin (x)-\cos (x)}{x^{2}}-\frac{x^{2} \cos (x)-2 x \sin (x)}{x^{4}} \)

Umschreiben bzw. vereinfachen:
\( =-\frac{\sin (x)}{x}+\frac{2 \sin (x)}{x^{3}}-\frac{2 \cos (x)}{x^{2}} \)

Problem: (das ist mein Ergebnis)

\( \begin{array}{l}=\frac{-x \sin (x)}{x^{2}}-\frac{\cos (x)}{x^{2}}-\frac{x^{2} \cos (x)}{x^{4}}-\frac{2 x \sin (x)}{x^{4}} \\ \frac{-\sin (x)}{x}-\frac{\cos (x)}{x^{2}}-\frac{\cos (x)}{x^{2}}-\frac{2 \sin (x)}{x^{3}} \\ -\frac{\sin (x)}{x}-\frac{2 \cos (x)}{x^{2}}-\frac{2 \sin (x)}{x^{3}}\end{array} \)

Answer 1

Hier eine Rechnung von mir:

f(x) = sin(x) / x

f'(x) = (cos(x)·x - sin(x)·1) / x^2
f'(x) = cos(x)/x - sin(x)/x^2

f''(x) = (-sin(x)·x - cos(x)·1)/x^2 - (cos(x)·x^2 - sin(x)·2·x)/x^4
f''(x) = - sin(x)/x - cos(x)/x^2 - cos(x)/x^2 + 2·sin(x)/x^3
f''(x) = - sin(x)/x - 2·cos(x)/x^2 + 2·sin(x)/x^3

Comments

aah, ich habe eine Vorzeichenfehler gemacht, vielen Dank.

Answer 2

\( =\frac{-x \sin (x)-\cos (x)}{x^{2}}\red{-} \frac{x^{2} \cos (x)\red{-} 2 x \sin (x)}{x^{4}} \)

Minus mal minus ist Plus. Wenn ein Minus vor einem Bruch steht, solltest du dir um den Zähler immer eine Klammer denken.

Comments

vielen Dank!

Answer 3

Am Ende stehen 11 Terme, ich nehme an, Du hast das =-Zeichen zwischen den Zeilen vergessen.
Es stimmt ja alles bis auf das Vorzeichen des letzten Terms, der ist schon beim Auflösen des zweiten Bruchs passiert. Beachte \(-(a-b)=-a+b\).

Tipp zum Abstellen der Quälerei hast Du schon...

Comments

Ich bleib dran, danke ;)

Answer 4

Hallo.

Es gilt nach Kettenregel bzw. Potenzregel

(1/x^p)‘ = ( x^(-p) )‘ = -p x^(-p-1) für alle p < 0.

Wir schreiben zuerst f um in f(x) = x^(-1) sin(x).

Für alle x ≠ 0 ist die Ableitung dann mit der Produktregel gegeben als

f‘(x) = (sin(x))‘ x^(-1) + sin(x) (x^(-1))‘

=  cos(x)/x - sin(x)/x^2.

Wir schreiben f‘ um in

f‘(x) = cos(x)x^(-1) - sin(x)x^(-2). Dann ist die zweite Ableitung analog also durch die Produkt- und Summeregel gegeben und ist

f‘‘(x) = -sin(x)/x - cos(x)/x^2 - (cos(x)/x^2 - 2sin(x)/x^3)  = -sin(x)/x - 2cos(x)/x^2 + 2sin(x)/x^3 = sin(x) (2/x^3 - 1/x) - 2cos(x)/x^2

Also in kompakter Schreibweise

f‘‘(x) = sin(x) (2/x^3 - 1/x) - 2cos(x)/x^2.