Wie vereinfacht man die abgeleitete Funktion

Question

Aufgabe:

(x^3+1)*wurzel(x)

Leite die Funktion mit der Produktregel ab und vereinfache sie.

Problem/Ansatz:

die Ableitung ist ja durch die Produktregel:

3x^2*wurzel(x)+(x^3+1)*1/2 wurzel(x)

aber wie vereinfache ich die Funktion jetzt?

irgendwie muss man auf 7x^3+1/2wurzel(x) kommen

Danke schonmal für die Hilfe

Answer 1

Aloha :)

$$\left(\underbrace{(x^3+1)}_{=u}\cdot\underbrace{\sqrt x}_{=v}\right)'=\underbrace{3x^2}_{=u'}\cdot\underbrace{\sqrt x}_{=v}+\underbrace{(x^3+1)}_{=u}\cdot\underbrace{\frac{1}{2\sqrt x}}_{=v'}=\frac{1}{2\sqrt x}\left(6x^3+(x^3+1)\right)=\frac{7x^3+1}{2\sqrt x}$$

Comments

Hallo :). Die Frage war aber wie man das vereinfacht und nicht ableitet ;). Könnten Sie diesbezüglich helfen?

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Habe ich doch gemacht, Nach dem Ableiten musst du \(\frac{1}{2\sqrt x}\) ausklammern. Dann steht das gewünschte Ergebnis schon da ;)

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die Lösung war allerdings „7x3+1/2wurzel(x)“, meine Frage war da, wie man darauf kommt :/

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Hmmm, ich muss wohl ein paar Rechenschritte mehr einbauen:

$$\phantom{=}3x^2\cdot\sqrt x+(x^3+1)\cdot\frac{1}{2\sqrt x}$$$$=3x^2\cdot\sqrt x\cdot\underbrace{\frac{2\sqrt x}{2\sqrt x}}_{=1}+(x^3+1)\cdot\frac{1}{2\sqrt x}$$$$=\frac{3x^2\cdot\sqrt x\cdot2\sqrt x}{2\sqrt x}+\frac{x^3+1}{2\sqrt x}$$$$=\frac{6x^2\cdot x}{2\sqrt x}+\frac{x^3+1}{2\sqrt x}=\frac{6x^3+x^3+1}{2\sqrt x}=\frac{7x^3+1}{2\sqrt x}$$Das hatte ich oben in meiner Antwort in 2 kurzen Rechenschritten gemacht. Vielleicht hilft die die ausführliche Variante weiter...

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Das war es was ich wissen wollte, habe es jetzt verstanden. Sie haben mir einen Abend voller Grübeln gerettet :). Merci!

Answer 2

Antwort mit KI erzeugt

Aufgabe: Leite die Funktion \((x^3 + 1)\sqrt{x}\) mit der Produktregel ab und vereinfache sie.

Lösung:

Die zu untersuchende Funktion lautet:
\( f(x) = (x^3 + 1)\sqrt{x} \)

Um die Ableitung dieser Funktion zu bestimmen, verwenden wir die Produktregel. Die Produktregel besagt, dass die Ableitung eines Produktes von zwei Funktionen \(u(x)\) und \(v(x)\) wie folgt ist:
\( (u(x)v(x))' = u'(x)v(x) + u(x)v'(x) \)

In unserem Fall setzen wir:
\( u(x) = x^3 + 1 \)
\( v(x) = \sqrt{x} \)

Zuerst bestimmen wir die Ableitungen von \(u(x)\) und \(v(x)\):
\( u'(x) = \frac{d}{dx}(x^3 + 1) = 3x^2 \)
\( v(x) = \sqrt{x} = x^{1/2} \)
\( v'(x) = \frac{d}{dx}(x^{1/2}) = \frac{1}{2}x^{-1/2} \)

Nun wenden wir die Produktregel an:
\( f'(x) = u'(x)v(x) + u(x)v'(x) \)
\( f'(x) = (3x^2)\sqrt{x} + (x^3 + 1)\left(\frac{1}{2}x^{-1/2}\right) \)

Jetzt multiplizieren und vereinfachen wir die Terme:
\( (3x^2)\sqrt{x} = 3x^2 \cdot x^{1/2} = 3x^{2 + 1/2} = 3x^{5/2} \)

Für den zweiten Term:
\( (x^3 + 1)\left(\frac{1}{2}x^{-1/2}\right) = \frac{1}{2}(x^3 \cdot x^{-1/2} + 1 \cdot x^{-1/2}) \)
\( = \frac{1}{2}(x^{3 - 1/2} + x^{-1/2}) \)
\( = \frac{1}{2}(x^{5/2} + x^{-1/2}) \)

Nun setzen wir diese beiden Terme zusammen:
\( f'(x) = 3x^{5/2} + \frac{1}{2}x^{5/2} + \frac{1}{2}x^{-1/2} \)

Um die Terme weiter zu vereinfachen, fassen wir die \(x^{5/2}\)-Terme zusammen:
\( f'(x) = (3x^{5/2} + \frac{1}{2}x^{5/2}) + \frac{1}{2}x^{-1/2} \)
\( f'(x) = \left(3 + \frac{1}{2}\right)x^{5/2} + \frac{1}{2}x^{-1/2} \)
\( f'(x) = \frac{6}{2}x^{5/2} + \frac{1}{2}x^{5/2} + \frac{1}{2}x^{-1/2} \)
\( f'(x) = \frac{7}{2}x^{5/2} + \frac{1}{2}x^{-1/2} \)

Das ist die vereinfachte Form der Ableitung. Falls zusätzlich radikale Ausdrücke bevorzugt werden:
\( f'(x) = \frac{7}{2}x^{5/2} + \frac{1}{2}x^{-1/2} = \frac{7}{2}x^{5/2} + \frac{1}{2}\frac{1}{\sqrt{x}} \)

Die vereinfachte Form der abgeleiteten Funktion lautet:
\( f'(x) = \frac{7}{2}x^{5/2} + \frac{1}{2}x^{-1/2} \)