Antwort mit KI erzeugt
Aufgabe: Leite die Funktion \((x^3 + 1)\sqrt{x}\) mit der Produktregel ab und vereinfache sie.
Lösung:
Die zu untersuchende Funktion lautet:
\( f(x) = (x^3 + 1)\sqrt{x} \)
Um die Ableitung dieser Funktion zu bestimmen, verwenden wir die Produktregel. Die Produktregel besagt, dass die Ableitung eines Produktes von zwei Funktionen \(u(x)\) und \(v(x)\) wie folgt ist:
\( (u(x)v(x))' = u'(x)v(x) + u(x)v'(x) \)
In unserem Fall setzen wir:
\( u(x) = x^3 + 1 \)
\( v(x) = \sqrt{x} \)
Zuerst bestimmen wir die Ableitungen von \(u(x)\) und \(v(x)\):
\( u'(x) = \frac{d}{dx}(x^3 + 1) = 3x^2 \)
\( v(x) = \sqrt{x} = x^{1/2} \)
\( v'(x) = \frac{d}{dx}(x^{1/2}) = \frac{1}{2}x^{-1/2} \)
Nun wenden wir die Produktregel an:
\( f'(x) = u'(x)v(x) + u(x)v'(x) \)
\( f'(x) = (3x^2)\sqrt{x} + (x^3 + 1)\left(\frac{1}{2}x^{-1/2}\right) \)
Jetzt multiplizieren und vereinfachen wir die Terme:
\( (3x^2)\sqrt{x} = 3x^2 \cdot x^{1/2} = 3x^{2 + 1/2} = 3x^{5/2} \)
Für den zweiten Term:
\( (x^3 + 1)\left(\frac{1}{2}x^{-1/2}\right) = \frac{1}{2}(x^3 \cdot x^{-1/2} + 1 \cdot x^{-1/2}) \)
\( = \frac{1}{2}(x^{3 - 1/2} + x^{-1/2}) \)
\( = \frac{1}{2}(x^{5/2} + x^{-1/2}) \)
Nun setzen wir diese beiden Terme zusammen:
\( f'(x) = 3x^{5/2} + \frac{1}{2}x^{5/2} + \frac{1}{2}x^{-1/2} \)
Um die Terme weiter zu vereinfachen, fassen wir die \(x^{5/2}\)-Terme zusammen:
\( f'(x) = (3x^{5/2} + \frac{1}{2}x^{5/2}) + \frac{1}{2}x^{-1/2} \)
\( f'(x) = \left(3 + \frac{1}{2}\right)x^{5/2} + \frac{1}{2}x^{-1/2} \)
\( f'(x) = \frac{6}{2}x^{5/2} + \frac{1}{2}x^{5/2} + \frac{1}{2}x^{-1/2} \)
\( f'(x) = \frac{7}{2}x^{5/2} + \frac{1}{2}x^{-1/2} \)
Das ist die vereinfachte Form der Ableitung. Falls zusätzlich radikale Ausdrücke bevorzugt werden:
\( f'(x) = \frac{7}{2}x^{5/2} + \frac{1}{2}x^{-1/2} = \frac{7}{2}x^{5/2} + \frac{1}{2}\frac{1}{\sqrt{x}} \)
Die vereinfachte Form der abgeleiteten Funktion lautet:
\( f'(x) = \frac{7}{2}x^{5/2} + \frac{1}{2}x^{-1/2} \)