Polynomdivision mit Rest, bezug auf die Nullstellen der Funktion?

Question

Ich möchte die Nullstellen der Funktion errechnen, komme aber nicht weiter, da ein Rest bei der Polynomdivision übrig geblieben ist und die abc Formel auch nicht funktioniert. Wenn bei der Polynomdivison ein Rest übrig bleibt, heißt das doch, dass es die Nullstelle gar nicht gibt?

\( \begin{array}{l}x^{4}-10 x^{3}+33 x^{2}-36 x \\ x\left(x^{3}-10 x^{2}+33 x-36\right) \\  \begin{array}{l}\left(x^{3}-10 x^{2}+33 x-36\right):(x-2)=x^{2}-8 x+17+\frac{(-2)}{(x-2)} \\ -\left(x^{3}-2 x^{2}\right)\end{array} \\ \frac{-\left(x^{3}-2 x^{2}\right)}{-8 x^{2}+33 x} \\ \frac{-\left(-8 x^{2}+16 x\right)}{\begin{array}{r}17 x-36 \\ -(17x-34) \\ -2\end{array}} \\ \\ \\ \frac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4 a c}}{2 a} \\ \frac{-(-8) \pm \sqrt{(-8)^{2}-4 \cdot 1 \cdot 17}}{2 \cdot 1} \\ =8 \pm \sqrt{64-68} \\\end{array} \)

Comments

2 ist keine Nullstelle.

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Wenn bei der Polynomdivison ein Rest übrig bleibt, heißt das doch, dass es die Nullstelle gar nicht gibt?

Genau. x = 2 ist ja auch keine Nullstelle.

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Ich hätte beinahe noch ein Verfahren zur Bestimmung der Nullstellen angeführt, erntete aber schon früher mal Protest.

Answer 1

x^4 - 10·x^3 + 33·x^2 - 36·x = x·(x^3 - 10·x^2 + 33·x - 36)

Jetzt ist 2 keine Nullstelle, sondern z.B. x = 3

(x^3 - 10·x^2 + 33·x - 36) / (x - 3) = x^2 - 7·x + 12

Jetzt z.B. mit dem Satz von Vieta faktorisieren

x^2 - 7·x + 12 = (x - 3)·(x - 4)

Also sind die Nullstellen

x = 0 ∨ x = 3 (2-fach) ∨ x = 4

Skizze

~plot~ x^4-10x^3+33x^2-36x;{0|0};{3|0};{4|0};[[-1|5|-14|2]] ~plot~

Answer 2

Bevor du eine Polynomdivision durchführst, solltest du erst einmal sicherstellen, dass deine gefundene Stelle auch tatsächlich eine Nullstelle ist. Ich empfehle hier zur Berechnung mal das Horner-Schema, was leider nur selten - zumindest in der Schule - behandelt wird, man aber auf jeden Fall kennen sollte.

Wir schreiben zunächst die Koeffizienten unserer ganzrationalen Funktion auf. Kommt ein Exponent nicht vor, so notieren wir eine 0.

\(f(x)=x^4-10x^3+33x^2-36x\)

	x^4	x^3	x^2	x^1	x^0
	1	-10	33	-36	0
\(x=2\)		2	-16	34	-4
	1	-8	17	-2	-4

In der ersten Spalte holen wir den Koeffizienten nach unten. Jetzt wir die unterste Zeile immer mit der zu testenden Stelle multipliziert und das Ergebnis unter den nächsten Koeffizienten geschrieben (\(2\cdot 1=2\)). Die Zahlen in der Spalte werden dann addiert \((-10+2=-8\)) und dann wird wieder multipliziert usw. Ganz unten rechts steht dann das Ergebnis \(f(2)=-4\) und wir sehen, dass keine Nullstelle vorliegt.

https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Horner-Schema&section=9#Beispiel_2

Comments

Das Horner Schema ist praktisch zur Berechnung der Nullstellen, wenn man Handschriftlich oder im Kopf rechnet.

Ansonsten empfehle ich einfach den Term in den Taschenrechner einzutippen.

f(2) = 2^4 - 10·2^3 + 33·2^2 - 36·2 = - 4

Man sieht, dass x = 2 offensichtlich keine Nullstelle ist.

Aber das hat der Fragesteller ja auch schon gemerkt, weil die Polynomdivision nicht aufgeht. Das ist ja immer genau dann der Fall, wenn man nicht durch eine Nullstelle teilt.