Komposition der Identitätsabbildung, warum ist für f(x) = x f(f(x))= x^2?

Question

Beispiel aus einem Buch:

Problem/Ansatz:

Warum ist die Komposition x² und nicht immer noch x oder bspw. 2x?

Eigentlich ist f(x) = x doch einfach nur die Identitätsabbildung, welche genau den Wert ausspuckt den man reingibt, warum kommt da also bei zweimaligem anwenden nicht mehr die Identität heraus?

Answer 1

Wie lautet denn die Aufgabe? Soll man entscheiden, ob die Aussagen stimmt oder nicht? Wenn ja, dann ist die Aussage natürlich falsch. Die Begründung dafür hast du ja schon geliefert:

\(f(f(x))=f(x)=x\)

Comments

Hallo danke erstmal, es ist tatsächlich überhaupt keine Aufgabe sondern einfach ein Beispiel im Buch meines Professors, deswegen irritiert mich das auch etwas

Answer 2

Du hast völlig recht, die Aussage ist falsch.

Vielleicht lautet die Aufgabe ja "prüfen Sie, ob die folgenden Aussagen wahr oder falsch sind." ? Liefere stets(!) die vollständige Aufgabenstellung mit, nicht nur solche Schnipsel.

Im übrigen ist in der Aussage auch die Schreibweise schon falsch.

Comments

Danke für deine Antwort, das ist überhaupt keine Aufgabe sondern das das erste Beispiel zu Kompositionen in dem Buch meines Professors daher hat mich das auch irritiert

Warum sagst du btw, dass die Schreibweise falsch ist?

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Weil \(f\circ f(x)\) bedeutet, dass eine Funktion \(f\) mit einem Funktionswert \(f(x)\) komponiert wird. Das geht nicht. Korrekte Schreibweise wäre \((f\circ f)(x)\).

In einem richtigen Buch sollte so was schon gar nicht stehen.

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Hier würde ich allerdings behaupten, dass das automatisch impliziert ist, da, wie du schon sagst, eine Funktion natürlich nicht mit einem Funktionswert komponiert werden kann und man vlt auch parallelen zu einer logischen Bindung ziehen kann

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Es geht aber in der Mathematik (und nicht nur da) nicht darum wie es wohl gemeint ist. Es steht da schlicht syntaktisch falsch.

Answer 3

Für die Komposition f•g zweier Abbildungen f,g gilt (f•g)(x) = f(g(x)) bzw. (g•f)(x) = g(f(x)).

Es gilt also (f•f)(x) = f(f(x)) = f(x) = x, da ja f(x) = x ist. Also ist x^2 oder sonst was, falsch. Vielleicht ist das eine Falschaussage, die du bestätigen sollst.

Abgesehen davon gilt sowieso id • id = id, da id bezüglich des Funktionenring das Neutralelement ist.