Hallo!
Ich beschäftige mich aktuell mit dem Taylorpolynom bzw. der Taylorreihe.
Dabei ist folgende Frage aufgekommen:
Einerseits gibt es ja das Taylorpolynom:
\(f(x)=\sum_{i=0}^{n} \frac{1}{i!}f^{(n)}(a)(x-a)^i + R_{k+1}(x)\)
und andererseits die Taylorreihe:
\(T(f,a)(x)=\sum_{i=0}^{\infty} \frac{1}{i!}f^{(n)}(a)(x-a)^i\).
Ersteres ist ja zwangsläufig gleich der Funktion bzw. dem Funktionswert.
Aber laut unserem Skript muss die Taylorreihe nicht einmal konvergieren und, wenn sie konvergiert, nicht gleich dem Funktionswert sein.
Das obige gilt ja jetzt im eindimensionalen, bei der multivariaten Variante der Taylorreihe, gilt da das gleiche?
Ich weiß, dass, wenn der Konvergenzradius = \(\infty\) ist, dann konvergiert die Reihe.
Gibt es noch weitere Kriterien, die man verwenden kann, um zu prüfen, ob der Funktionswert dann auch tatsächlich gleich der konvergenten Taylorreihe ist?
Vielen Dank!