Kriterium zum Überprüfen der Konvergenz der Taylorreihe gegen den Funktionswert?

Question

Hallo!

Ich beschäftige mich aktuell mit dem Taylorpolynom bzw. der Taylorreihe.

Dabei ist folgende Frage aufgekommen:

Einerseits gibt es ja das Taylorpolynom:

\(f(x)=\sum_{i=0}^{n} \frac{1}{i!}f^{(n)}(a)(x-a)^i + R_{k+1}(x)\)

und andererseits die Taylorreihe:

\(T(f,a)(x)=\sum_{i=0}^{\infty} \frac{1}{i!}f^{(n)}(a)(x-a)^i\).

Ersteres ist ja zwangsläufig gleich der Funktion bzw. dem Funktionswert.

Aber laut unserem Skript muss die Taylorreihe nicht einmal konvergieren und, wenn sie konvergiert, nicht gleich dem Funktionswert sein.

Das obige gilt ja jetzt im eindimensionalen, bei der multivariaten Variante der Taylorreihe, gilt da das gleiche?

Ich weiß, dass, wenn der Konvergenzradius = \(\infty\) ist, dann konvergiert die Reihe.

Gibt es noch weitere Kriterien, die man verwenden kann, um zu prüfen, ob der Funktionswert dann auch tatsächlich gleich der konvergenten Taylorreihe ist?

Vielen Dank!

Comments

Die Taylorrrihe ist. n i c h t zwangsläufig gleich der sie erzeugenden Funktion.

Lies in Deinem Lehrmaterial die Infos zu "Restglied / Taylorformel"

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Danke, aber das weiß ich.

Meine Frage bezog sich darauf, ob es denn eine Eigenschaft gibt, dass, wenn diese erfüllt ist, dass dann der Funktionswert gleich dem Grenzwert der Taylorreihe ist?

Allgemeiner geht es mir darum, wie ich Beweisen/nachrechnen kann, dass z.B. eine gegebene Funktion gleich ihrer konvergenten Taylorreihe ist?

Answer 1

Die Konvergenz kannst du prüfen, indem du schaust, was mit dem Restlied \(R_{k+1}(x)\) für \(k\to\infty\) passiert. Geht das Restglied gegen 0 für \(k\to\infty\), dann konvergiert die Taylorreihe für diesen \(x\)-Wert gegen die Funktion. Das gilt immer dann, wenn die Funktion analytisch ist, also insbesondere durch eine konvergente Potenzreihe darstellbar. Das ist dann die Taylorreihe.

Wenn eine Funktion nicht-analytisch ist, ist das nicht so. Ein Beispiel findest du hier: https://de.wikipedia.org/wiki/Analytische_Funktion#Beispiele_nicht-analytischer_Funktionen

Die Resultate lassen sich auf mehrdimensionale Funktionen übertragen.

Comments

Ok, danke für die Info!

Gibt es ein Verfahren/Vorgehen, um zu prüfen ob eine Funktion analytisch ist?

Die Konvergenz einer Taylorreihe zeigt man ganz normal mit den Konvergenzkriterien einer anderen Reihe, oder?

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Wenn man die Konvergenz der Taylorreihe nachweisen kann und dann zeigen kann, dass sie gegen die Funktion konvergiert, dann ist die Funktion auch analytisch. Dazu kann unter anderem die Betrachtung des Restglieds helfen. Den Konvergenzradius kannst du mit den üblichen Formeln berechnen.