Wir haben also eine Abschätzung für das n-te Taylorpolynom für f mit Entwicklungspunkt \(x_0\):
$$T_n(x)-f(x)| \leq R_n(x) \text{ mit } R_n(x)=f^{(n+1)}(c)\frac{(x-x_0)^{n+1}}{(n+1)!}$$
mit eine Zwischenstelle c. Wir zeigen, dass das Restglied für jede x gegen 0 geht: Es existiert ein \(m \in \N\) mit
$$\frac{|x-x_0|}{n} \leq 0.5 \text{ für }n\geq m$$
Dann gilt für \(n>m\):
$$|R_n(x)| \leq \left|k(x)\frac{(x-x_0)^m}{m!} \right| 0.5^{n-m}$$