Aloha :)
Die Partialbruchzerlegung hast du völlig korrekt durchgeführt.
Ich schreibe das Eregbenis nur etwas anders auf als du:$$\frac{10}{(x^2+4)(x+1)}=-\green{\frac{2x}{x^2+4}}+\red{\frac{2}{x^2+4}}+\green{\frac{2}{x+1}}$$Die Integrale der entstandenen Partialbrüche kannst du alle auf einfache Standardintegrale zurückführen.
Bei den grünen Brüchen steht im Zähler die Ableitung des Nenners:$$\green{\int\frac{f'(x)}{f(x)}\,dx=\ln|f(x)|+C}$$Die Integrale kannst du daher sofort hinschreiben.
Das Integral über den roten Bruch kannst du zurückführen auf$$\red{\int\frac{1}{1+x^2}\,dx=\arctan(x)+\text{C}}$$Das kannst du (theoretisch im Kopf) so durchführen:$$\small\int\frac{2}{x^2+4}dx=\int\frac{1}{1+\frac{x^2}{4}}\cdot\frac24\,dx=\int\frac{1}{1+\left(\frac x2\right)^2}\,\frac12dx=\int\frac{1}{1+\left(\frac x2\right)^2}\,d\left(\frac x2\right)=\arctan\left(\frac x2\right)+C$$Wenn du \(\left(\frac{d\left(\frac x2\right)}{dx}=\frac12\right)\) bzw. \(\left(d\left(\frac x2\right)=\frac12\,dx\right)\) nicht direkt siehst, kannst du auch eine Substution mit \(\left(u\coloneqq\frac x2\right)\) durchführen.
Langer Rede kurzer Sinn:$$\int\frac{10}{(x^2+4)(x+1)}\,dx=-\ln|x^2+4|+\arctan\left(\frac x2\right)+2\ln|x+1|+C$$
