Bestimme die Stammfunktion der rationalen Funktionen

Question

Hallo!

Es handelt sich hierbei um die Partialbruchzerlegung bzw. um die Stammfunktion der folgenden Funktionen. Ich soll hier die Stammfunktion der rationalen Funktionen bestimmen.

Die Partialbruchzerlegung habe ich bestimmt, nur die Stammfunktionen haben mir Schwierigkeiten bereitet.

Bei h) habe ich ja im Zähler fast schon die Ableitung vom Nenner stehen. Normalerweise macht man da ja so einen Trick, man multipliziert den Bruch mit 1/2, aber das geht hier in diesem Fall nicht. Man kann hier zwar die Substitutionsregel anwenden, aber könnte man die Stammfunktion auch ohne die Substitution bestimmen?

Aufgabe:

h) \( \frac{10}{\left(x^{2}+4\right)(x+1)} \)

i) \( \frac{x^{3}+1}{1-x^{2}} \)

Problem/Ansatz:

Bei h) habe ich \( \frac{10}{\left(x^{2}+4\right)(x+1)}=\frac{-2 x+2}{x^{2}+4}+\frac{2}{x+1} \) und im Zähler ist ja die Ableitung vom Nenner. Kann ich diesen Ansatz hier verwenden und damit weiterrechnen?

Answer 1

h) Das unbestimmte Integral lautet: tan^-1(x/2)-ln(x²+4)+2ln(x+1).

Answer 2

Partialbruchzerlegung

tool mit Weg:

https://www.integralrechner.de/

Comments

Ja, ich benutze diesen Rechner ja auch, aber ich wollte nur wissen, ob man die Aufgabe auch ohne Substitution lösen kann. Weil im Zähler steht ja die Ableitung vom Nenner.

Answer 3

Zähler ist ja die Ableitung vom Nenner

Die Ableitung von x^2 + 4 ist 2x und nicht -(2x - 2). Meintest du das?

Du machst also zunächst nochmal eine Zerlegung

(2 - 2x)/(x^2 + 4) = 2/(x^2 + 4) - 2x/(x^2 + 4)

Jetzt hast du im 2. Term die Ableitung des Nenners im Zähler. Das bringt dir aber für den 1. Term nichts. Dort kannst du den Ausdruck aber über eine Substitution u = x/2 in die Form

2/(x^2 + 4) = 2/(4(x/2)^2 + 4) = 2/(4u^2 + 4) = 1/2 * 1/(u^2 + 1)

bringen. Das ist nun aber ein sehr bekanntes Integral.

Answer 4

Aloha :)

Die Partialbruchzerlegung kann ich bestätigen:$$I=\int\frac{10}{(x^2+4)(x+1)}\,dx=\int\left(\frac{-2x+2}{x^2+4}+\frac{2}{x+1}\right)dx$$Um das Standardintegral$$\int\frac{f'(x)}{f(x)}\,dx=\ln|f(x)|+\text{const}$$verwenden zu können, musst im Zähler die Ableitung des Nenners stehen. Das gelingt hier nicht ganz, es bleibt ein Bruch übrig, für den das nicht gilt:$$I=\int\left(-\green{\frac{2x}{x^2+4}}+\red{\frac{2}{x^2+4}}+2\cdot\green{\frac{1}{x+1}}\right)dx$$Beim Integral des roten Bruchs hilft das Standardintegral:$$\int\frac{1}{1+x^2}\,dx=\arctan(x)+\text{const}$$sehr schnell weiter., denn:$$\int\red{\frac{2}{x^2+4}}\,dx=\int\frac{1}{1+\frac{x^2}{4}}\cdot\pink{\frac24dx}=\int\frac{1}{1+\left(\frac x2\right)^2}\,\pink{d\left(\frac x2\right)}=\arctan\left(\frac x2\right)+\text{const}$$Die pinken Terme sind glech$$\frac{d\left(\frac x2\right)}{dx}=\frac12\implies d\left(\frac x2\right)=\frac12dx$$sodass man "im Kopf" sofort \(x\) durch \(\frac x2\) substutieren und das Integral hinschreiben kann. Insgesamt haben wir also als Integral:$$I=-\ln|x^2+4|+\arctan\left(\frac x2\right)+2\ln|x+1|+\text{const}$$