Aufgabe:
Wir betrachten die Funktion \( f:(-1, \infty) \rightarrow \mathbb{R}, f(x)=\log (1+x) \) für alle \( x>-1 \).
i) Bestimmen Sie die Taylorreihe von \( f \) mit Entwicklungspunkt \( a=0 \).
ii) Bestimmen Sie für diese Taylorreihe
- den Konvergenzradius,
- alle \( x \in R \), für welche diese konvergiert und
- zeigen Sie mit Hilfe des Lagrange-Restglieds, dass diese mit \( f \) für alle \( -\frac{1}{2} \leq x \leq 1 \) übereinstimmt.
Problem/Ansatz:
Mein Problem ist, dass ich den letzten Teilpunkt bei ii) nicht verstehe, wie man diesen umsetzen soll.
Alle anderen Punkte habe ich bereits gefunden!
Die entsprechende Taylorreihe ist: \( \ln (1+x)=\sum\limits_{k=0}^{n} \frac{(-1)^{k+1}}{k} x^{k} \)
Lagrange-Restglied im Skript:
(Restglied in LAGRANGE-Form). Sei \( I \) ein Intervall, \( a \in I \), und \( f \in \) \( C^{m+1}(I) \) für ein \( m \in \mathbb{N} \). Dann existiert für jedes \( x \in I \) ein \( \xi \in[a, x] \), sodaß
\( f(x)=\sum \limits_{k=0}^{m} \frac{f^{(k)}(a)}{k !}(x-a)^{k}+\frac{f^{(m+1)}(\xi)}{(m+1) !}(x-a)^{m+1} . \)
