Taylorreihe Restgliedabschätzung

Question

Aufgabe: Aufgabe 56 Nr.4

Problem:Mir ist klar,dass man hier die Restgliedformel nach Lagrange verwenden muss,verstehe die L

Text erkannt:

Aufgabe T56
Vorgegeben sei die Funktion
\( \sinh : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, x \mapsto \sinh (x)=\frac{1}{2} \cdot\left(e^{x}-e^{-x}\right) \)
1. Bestimmen Sie die Taylorreihe von sinh zum Entwicklungspunkt \( x_{0}:=0 \), und zeigen Sie, dass ihre Summenfunktion auf ganz \( \mathbb{R} \) mit der Funktion sinh übereinstimmt.
2. Bestimmen Sie die Taylorpolynome \( T_{3}(x ; \sinh , 0) \) und \( T_{4}(x ; \sinh , 0) \) zum Entwicklungspunkt \( x_{0}=0 \).
3. Zeigen Sie die Ungleichung
\( e^{x}+e^{-x} \leq 4 \text { für }|x| \leq 1 \text {. } \)

Text erkannt:

4. Unter Verwendung der Restgliedformel des Satzes von Taylor existiert zu jedem \( x \) mit \( |x| \leq 1 \) ein \( \xi \in(\min \{x, 0\}, \max \{x, 0\}) \) so, dass gilt:
\( \left|\sinh (x)-T_{4}(x ; \sinh , 0)\right|=\left|R_{4}(x ; \sinh , 0)\right|=\frac{1}{5 !} \cdot \frac{1}{2} \cdot\left(e^{\xi}+e^{-\xi}\right) \cdot|x|^{5} \leq \frac{1}{240} \cdot 4=\frac{1}{60}, \quad|x| \leq 1 . \)

ösungen aber trotzdem nicht.

Answer 1

Hallo :-)

1.) Nutze die Reihendarstellung von \(e^x\). Diese lautet

$$ e^x=\sum\limits_{k=0}^\infty \frac{1}{k!}\cdot x^k $$

Diese hat Konvergenzradius \(R=\infty\).

Bei 2.) kannst du dein Ergebnis aus 1.) nutzen, indem du deine Summe zur entsprechenden Ordnung des geforderten Polynoms hinschreibst.

3.) Nutze die Reihendarstellung von \(\sinh(x)\) aus 1.) und schätze diese gegen die geometrische Reihe nachoben ab.