Taylorreihe Restgliedabschätzung

Question

Aufgabe: Aufgabe 56 Nr.4

Problem:Mir ist klar,dass man hier die Restgliedformel nach Lagrange verwenden muss,verstehe die L

Text erkannt:

Aufgabe T56
Vorgegeben sei die Funktion
$\sinh : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, x \mapsto \sinh (x)=\frac{1}{2} \cdot\left(e^{x}-e^{-x}\right)$
1. Bestimmen Sie die Taylorreihe von sinh zum Entwicklungspunkt $x_{0}:=0$, und zeigen Sie, dass ihre Summenfunktion auf ganz $\mathbb{R}$ mit der Funktion sinh übereinstimmt.
2. Bestimmen Sie die Taylorpolynome $T_{3}(x ; \sinh , 0)$ und $T_{4}(x ; \sinh , 0)$ zum Entwicklungspunkt $x_{0}=0$.
3. Zeigen Sie die Ungleichung
$e^{x}+e^{-x} \leq 4 \text { für }|x| \leq 1 \text {. }$

Text erkannt:

4. Unter Verwendung der Restgliedformel des Satzes von Taylor existiert zu jedem $x$ mit $|x| \leq 1$ ein $\xi \in(\min \{x, 0\}, \max \{x, 0\})$ so, dass gilt:
$\left|\sinh (x)-T_{4}(x ; \sinh , 0)\right|=\left|R_{4}(x ; \sinh , 0)\right|=\frac{1}{5 !} \cdot \frac{1}{2} \cdot\left(e^{\xi}+e^{-\xi}\right) \cdot|x|^{5} \leq \frac{1}{240} \cdot 4=\frac{1}{60}, \quad|x| \leq 1 .$

ösungen aber trotzdem nicht.

Answer 1

Hallo :-)

1.) Nutze die Reihendarstellung von $e^x$. Diese lautet

$$e^x=\sum\limits_{k=0}^\infty \frac{1}{k!}\cdot x^k$$

Diese hat Konvergenzradius $R=\infty$.

Bei 2.) kannst du dein Ergebnis aus 1.) nutzen, indem du deine Summe zur entsprechenden Ordnung des geforderten Polynoms hinschreibst.

3.) Nutze die Reihendarstellung von $\sinh(x)$ aus 1.) und schätze diese gegen die geometrische Reihe nachoben ab.