Aufgabe:
Sei \( \varphi: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \) gegeben durch
\( \varphi(x):=\left\{\begin{array}{ll} \frac{1}{C} \exp \left(\frac{-1}{1-x^{2}}\right), & \text { falls } x \in]-1,1[, \\ 0 & \text { sonst, } \end{array}\right. \)
wobei \( C:=\int \limits_{-1}^{+1} \exp \left(\frac{-1}{1-t^{2}}\right) d t \).
Zu zeigen ist dann die stetige Diff'barkeit.
Problem/Ansatz:
Ich habe die Diff'barkeit in den Punkten \(x\in ]-1,1[\) durch einfaches berechnen der partiellen Ableitung (ist ja gleich dem totalen Differenzial ind iesem Fall) gezeigt.
Ich bin nun dabei zu zeigen, dass die Funktion auch in den Punkten \(x(-\infty,-1)\) diff'bar ist, aber da komme ich nicht weiter und erhalte tatsächlich eine Divergenz:
Text erkannt:
\( \lim \limits_{h \rightarrow 0} \frac{\phi(x+h)-\phi(x)}{h}=\lim \limits_{h \rightarrow 0} \frac{\frac{1}{C} \cdot \exp \left(\frac{-1}{1-(x+h)^{2}}\right)}{h} \)
wobei eben die Divergenz auftritt, wenn h eben negativ ist, da ja dann x (z.B. x=-10) plus h betraglich größer 1 sind (da ja negativ plus negativ) und dann der Ausdruck innerhalb von exp gegen einen endlichen Wert ungleich Null und ungleich 1 konvergiert, der Nenner ja aber gegen Null, was ja zur Divergenz führt.
Hab ich etwas falsch gemacht und/oder habt ihr einen besseren Ansatz?
