Intervall angeben, das Punkt im Inneren enthält

Question

Text erkannt:

Aufgabe 9 (6 Punkte) Gegeben sei die Funktion \( f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}: x \mapsto \mathrm{e}^{2 x} x^{2} \).
(a) Geben Sie die folgenden Ableitungen an.
\( \left.f^{\prime}(x)=\square f^{\prime \prime}(x)=\square 2 \mathrm{e}^{2 x}\left(x^{2}+x\right) \quad 2 x^{2}+4 x+1\right) \)
(b) Geben Sie ein Intervall \( [a, b] \) mit \( a<b \) an, das \( x_{0}=1 \) im Innern enthält und in dem \( f \) streng monoton und differenzierbar ist. Geben Sie die Ableitung der Umkehrfunktion \( f^{-1} \) von \( f \) an der Stelle \( y=f\left(x_{0}\right) \) an.
\( \left.[a, b]=\square \frac{1}{2}, 10\right]\left.\quad \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} y} f^{-1}(y)\right|_{y=f\left(x_{0}\right)}=\square \frac{1}{4 \mathrm{e}^{2}} \)

Hier weiß ich leider nicht, wie man auf das Intervall kommt. Muss man 1 mit der ersten Ableitung gleichsetzen oder wie müsste man vorgehen?

Answer 1

Erstmal den Text verstehen: die 1 ist ein x-Wert und hat nichts mit einem Ableitungswert zu tun.

Prüfe, ob f in der Nähe on x=1 streng monoton und diffbar ist.

Wenn das der Fall ist, ist f dort auch umkehrbar und für die Ableitung der Umkehrfunktion gibt es in deinen Unterlagen eine Formel.

Answer 2

Hallo.

Ich gehe mal wie folgt vor:

1) Differenzierbarkeit

Die Funktion f ist erstmal für jede Zahl x ∈ R differenzierbar, also im konpletten R. Die Ableitung ist gegeben durch die Produktregel / Leibnizregel

f‘(x) = 2e^(2x) x(x+1).

D.h. egal welches Intervall du aus R nimmst, f wird da differenzierbar sein. Wir halten also fest: f ist für jedes Intervall [a,b] in R mit a,b ∈ R beliebig, differenzierbar.

2) Monotonie

Nun zu der Monotonie. Eine Funktion f heisst ja strengmonoton, falls sie entweder strengmonoton steigt oder fällt.

Ich mache es mal für den Fall: f soll in diesem strengmonoton steigend sein. Du kannst ja dann analog es für den Fall: f soll in diesem strengomonoton fallend sein, machen.

Betrachte die Ableitung f‘(x) = 2e^(2x) x(x+1). Der Faktor 2e^(2x) ist immer positiv, d.h. 2e^(2x) > 0 für alle x ∈ R. Also schauen wir uns den Faktor x(x+1) an. Dieser ist positiv, wenn gilt x < -1 oder x > 0. Es gilt also f‘(x) > 0 für x < -1 oder x > 0.

=> f ist strengmonoton steigend für x ∈ (-inf, -1) U (0,inf).

Da aber 1 in deinem Intervall liegen soll, kannst du den Teil (-inf,-1) auschliessen und wählst dein Intervall einfach aus (0,inf). Also ein Intervall [a,b] welches die beiden Bedingungen b > 1 > a > 0 und 1 ∈ [a,b] erfüllt.

Kurze Bemerkung: Nach Korrektur von einigen Helfern, darf auch die 0 in deinem Intervall sein, also es darf auch ein Intervall aus [0,inf) sein. Jedoch bevorzuge ich, das man die 0 einfanch weglässt, da man sich damit Arbeit erspart… Der Grund ist, das für x ∈ (0,inf): f‘(x) > 0 gilt und du damit direkt folgern kannst, das f da strengmonoton steigt. Für x ∈ [0,inf) gilt jedoch f‘(x) ≥ 0 und da kannst du es nicht direkt folgern.

Man kann also z.B. auch das Intervall [1/10000000, 1 + 1/10000000] wählen.

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Für die Ableitung der Umkehrfunktion an der Stelle 1, nutzt du die Umkehrformel.

Comments

dein Intervall muss eine Teilmenge von (0, inf) sein

Nein.

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Doch! Da die 1 mitdrin liegen soll! Das habe ich jetzt oben auch nochmal ergänzt.

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Zum einen ist dein Faktor falsch, zum anderen geht es nicht um st. mon. st.

Bitte korrigiere auch den Fehler in der Frage zu arg bez. arctan.

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Das habe ich jetzt oben auch nochmal ergänzt.

Und dadurch ist es wieder falsch geworden.

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Stimmt. Habe ausversehen anstatt die 1 eine 2 geschrieben. Der Faktor ist jetzt korrekt. Danke.

Hab mich verlesen. Korrigiere es jetzt.

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Ja habe es jetzt korrigiert. Ich hatte mich da vorhin überlesen…

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dein Intervall muss eine Teilmenge von (0, inf) sein

Unter der Annahme, dass \(x_0=1\) enthalten sein soll, ist die Aussage doch völlig korrekt. Ich denke, das war auch der Gedanke bei der ersten Antwort. Man hätte also einfach schreiben können: "Da \(x_0=1\) im Intervall enthalten sein soll, muss ..."

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ist die Aussage doch völlig korrekt

Nein, denn [0 , 1] ist ein zulässiges Intervall.

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Jetzt liegt \(x_0=1\) aber nicht im Inneren, sondern am Rand. Aber ja, die Null kann man hinzunehmen.

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Die 0 ist ein kritischer Punkt von f, denn die Ableitung verschwindet da. Damit wäre für ein Intervall mit der 0, f nicht mehr strengmonoton steigend, sondern nur monoton steigend. Also darf die 0 nicht im Intervall sein.

Damit ist das Intervall [0,1] von @hj266 falsch! Unabhängig davon weil 1 da ein Randpunkt ist, wie @nudger bereits sagte.

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Das Kriterium mit der Ableitung ist nur hinreichend, aber nicht notwendig. Daher ist die Funktion auch in \(x=0\) streng monoton wachsend, da für \(0<y\) stets \(0=f(0)<f(y)\) folgt.

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denn die Ableitung verschwindet da

Monotonie ist doch nicht an den Ableitungsbegriff gebunden ! Selbstverständlich kann das Intervall die Null enthalten.
Und leider hatte ich in der Tat das "Innere" überlesen.

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Die 0 ist ein kritischer Punkt von f, d.h. die Ableitung verschwindet da. Damit wäre für ein Intervall mit der 0, f nicht mehr strengmonoton steigend, sondern nur noch monoton steigend. Also darf die 0 nicht im Intervall sein.

Diesen Einwand verstehe ich nicht, denn \(y=x^3\) beispielsweise ist sicher streng monoton steigend, obwohl \(y'(0)=0\) gilt. Was habe ich übersehen?

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Ja das stimmt. Ich habe vergessen, das es sich bei ,,strengmonoton‘‘ nur um eine Implikation handelt, die besagt, das wenn f‘(x) > 0 für alle gilt, sodass f dann str. monoton steigt und andersherum.

Stimmt man kann dann also auch die 0 dazunehmen.

Nur ist die Frage: Warum sollte ich mir mehr Arbeit machen? Ich würde ich es also trotzdem nicht machen, da es immer schöner ist die direkte Voraussetzung zu erfüllen, wenn möglich. Für x ≠ 0 ist nämlich f‘(x) > 0 und das ist direkt hinreichender, als wenn da noch f‘(x) = 0 gilt. Man müsste nämlich dann strenggenommen wenn man ein Intervall mit der 0 nimmt noch zeigen, das f da injektiv ist, damit f dann da wirklich insgesamt strengmonoton steigend ist. Bei meinem Fall muss man das nämlich nicht mehr dazu machen, da es das Gewünschte direkt folgert.

Answer 3

Das Intervall ist nicht eindeutig. Finde erstmal ein Intervall, welches \(x_0=1\) enthält. Das kann ja erstmal jedes beliebige Intervall sein. Jetzt muss du aber noch gewährleisten, dass deine Funktion dort monoton und differenzierbar ist.

Was weißt du über die Differenzierbarkeit von \(f\)?

Was weißt du über die Monotonie von \(f\) an der Stelle \(x_0=1\)? Beachte: das Monotonie verhalten kann sich nur ändern, wenn die Ableitung null wird.

Wenn du diese beiden Fragen beantworten kannst, solltest du in der Lage sein, ein entsprechendes Intervall anzugeben.