Quadratische Funktion umwandeln

Question

Von Normalform in Scheitelpunktform umwandeln: $$y = -3x^2 + 6x -2$$ Komme bei der Aufgabe nicht weiter.

Die \(-3\) vor dem \(x^2\) stört mich.

Answer 1

Klammer die -3 zuerst aus

\(y = - 3x^2 + 6x - 2 \newline y = - 3(x^2 - 2x) - 2\)

jetzt q.E.

\(y = - 3(x^2 - 2x + 1 - 1) - 2\)

Die -1 aus der Klammer nehmen

\(y = - 3(x^2 - 2x + 1) - 2 + 3\)

Jetzt binomische Formel verwenden und zusammenfassen

\(y = - 3(x - 1)^2 + 1\)

Jetzt bist du fertig.

War das verständlich?

PS: Ich würde übrigens eher von der allgemeinen Form sprechen.

Normalform ist
\(y = x^2 + px + q\)

Allgemeine Form ist
\(y = ax^2 + bx + c\)

Aber die Benennung ist nicht immer ganz einheitlich, wie du siehst.

Answer 2

Aloha :)

Wenn die \((-2)\) am Ende eine \((-3)\) wäre, könntest du \((-3)\) ausklammern und hättest dann eine binomische Formel vorliegen. Also machen wir aus der \((-2)\) doch eine \((-3)\):$$\small y=-3x^2+6x\pink{-2}=(-3x^2+6x\pink{-3})\pink{+1}=-3(x^2-2x+1)+1=-3(x-1)^2+1$$

Der Scheitelpunkt ist \(S(1|1)\).

Answer 3

Verallgemeinert:

a·x^2 + b·c + c

= a·(x^2 + b/a·x) + c

= a·(x^2 + b/a·x + (b/(2·a))^2 - (b/(2·a))^2) + c

= a·(x^2 + b/a·x + (b/(2·a))^2) + c - b^2/(4·a)

= a·(x + b/(2·a))^2 + c - b^2/(4·a)

Scheitel:

S( - b/(2·a) | c - b^2/(4·a) )

Comments

Damit hast Du alle Fragen zu Scheitelpunktdarstellung beantwortet. Künftig braucht es keine Zahlen-Muster-Lösungen mehr. Das ist subversiv ;-)

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Ich habe mir erlaubt die Klammersetzung zu korrigieren und die Terme etwas in meinen Augen schöner zu setzen.

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Hallo

@mahehilf

SUS die hier nach der Umformung fragen, die fast sicher in der Schule für alle vorkommenden Fälle behandelt wurden können ja mit den allgemeinen Formeln vom Coach et al eh nix anfangen die wollen Aloha :) einfach die Lösung haben.

Beobachte mal: je einfacher die Lösung umso mehr fertige Antworten gibts, hier für ne einfache Umformung 5! Antworten.

Gruß lul

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Hier zeigt eben wieder jeder, wie toll er rechnen kann. Dass man damit dem FS wieder jede Möglichkeit genommen hat, selbst auf das Ergebnis zu kommen, interessiert die Herrschaften nicht. Lerneffekt = 0, würde ich sagen. Zumal der FS auch konkret geschildert hat, was sein Problem ist. Anstatt also die gesamte Aufgabe wieder vorzurechnen, hätte man ihm einfach erläutern können, wie er mit dem Leitkoeffizienten umzugehen hat, dann hätte er es erst einmal selbst versuchen können.

Answer 4

Klammere entweder aus, oder dividiere durch -3:

(a) \(y=-3(x^2-2x+\frac{2}{3})\) (dividiere alles innerhalb der Klammer durch das, was du ausklammerst, also hier -3)

(b) \(-\frac{y}{3}=x^2-2x+\frac{2}{3}\)

Du kannst jetzt auf der rechten Seite bzw. innerhalb der Klammer wie gewohnt deine quadratische Ergänzung durchführen. Am Ende multiplizierst du die Klammer wieder aus (a) bzw. multiplizierst die Gleichung wieder mit \(-3\) (b).

Answer 5

\(y = -3x^2 + 6x -2|+2\)

\(y+2 = -3x^2 + 6x|:(-3) \)

\(\frac{y+2}{-3} = x^2 - 2x\)     quadratische Ergänzung:

\(\frac{y+2}{-3} +(\frac{2}{2})^2= x^2 - 2x+(\frac{2}{2})^2\)      2.Binom:

\(\frac{y+2}{-3} +1= (x - 1)^2 |-1\)

\(\frac{y+2}{-3} = (x - 1)^2 -1| \cdot (-3) \)

\(y+2 =-3 (x - 1)^2+3 | -2 \)

\(y =-3 (x - 1)^2+1 \)

Scheitelpunkt S\((1|1)\)