1.Ableitung und 2. ableitung detaliert erklärt

Question

Aufgabe:

Text erkannt:

\( f(x)=\sqrt{1-x^{2}} \)

Problem/Ansatz:

Answer 1

Detaisl
 1. Kettenregel. 2. Quadratwurzel ableiten 3. Summe ableiten.. 4. 1 und -x^2 ableiten.

1.(√(f(x))'=(√f)'*f'

(\( \sqrt{x}\))'=1/(2*√x)

(1-x^2)'=-2x

Was fehlt dir noch?

lul

Answer 2

Dazu kann ich dir diese Seite empfehlen:

https://www.ableitungsrechner.net/

Sie liefert dir auch den Rechenweg.

Comments

Ich habe den Hinweis mal zu einer Antwort gemacht.

Meiner Meinung nach sollte den Rechner jeder kennen, sei es zur Hilfe oder zur Kontrolle.

Falls dabei Fragen auftreten, kann aber hier gezielt auch weitergeholfen werden.

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Das war klar, dass du wieder dazwischen fuchtelst. Antworten, die nur aus Links bestehen, können ruhig als Kommentar bestehen bleiben. So sieht das übrigens auch die FAQ:

2. Links in der Antwort

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Answer 3

Hallo.

Die Quadratwurzel sqrt: I —> |R (I ⊂ [0,inf)) kannst du umschreiben mit der Potenz 1/2.

Also gilt sqrt(x) := x^(1/2) für alle x ∈ [0,inf).

(Bei dir also sqrt(1-x^2) = (1-x^2)^(1/2) )

Die erste Ableitung bildest du dann mithilfe der Kettenregel (y^n)’ = n* y^(n-1)* y’, wobei hier

y : I —> |R (I ⊂ |R offenes Intervall) eine Funktion und n ∈ |R die Potenz ist.

Bei dir: y = 1-x^2 und die Potenz ist n = 1/2.

Du leitest also einmal das Äussere um y ab und multiplizierst es dann noch mit der inneren Ableitung, also der Ableitung y’ von y.

Die zweite Ableitung geht dann genauso.

Comments

sqrt: |R —> |R

Das ist wohl ein Flüchtigkeitsfehlerfehler

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@Txman LaTeX ist nicht so schwer und musst Du als Mathestudi eh lernen...

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Ja stimmt |R war da falsch, ist jetzt korrigiert.

Habe es jetzt mit einer allgemeinen Menge

I ⊂ [0,inf) geschrieben. Man muss ja sqrt im Allgemeinen betrachten und nicht nur die Standard-Wurzelfunktion x ~> sqrt(x).

@nudger. Ja stimmt, aber ich hatte LaTex noch nicht an der Universität als Kurs

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Ja stimmt, aber ich hatte LaTex noch nicht an der Universität als Kurs

Das wird auch nicht explizit angeboten. Es kann schon mal sein, dass ein derartiger Kurs im Bereich der Schlüsselqualifikationen angeboten wird. Aber auch das ist auf freiwilliger Basis. Mir hat der Kurs damals nichts gebracht, da ich mich privat schon selbstständig damit befasst hatte, um den ein oder anderen Seminarvortrag zu tippen. Du musst dich also selbst darum bemühen, inwiefern ein solcher Kurs an deiner Uni angeboten wird.

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Ja ich habe das wohl sowieso demnächst als Kurs. Das kann mir ja da als Einstieg schon mal bestimmt helfen

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Die paar Dinge oben kannst Du dir in 15 Minuten (großzügig geschätzt) selbst beibringen. Z.B. kannst Du schauen wie's andere machen.

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Richtig, wenn er Musterlösungen hat, kann er schauen, wie es andere machen ;)

Answer 4

zur 1. Ableitung: $$\begin{aligned} f(x) &= \sqrt{1-x^{2}} &\quad\vert\quad (\dots)^2 \\ \left(f(x)\right)^2 &= 1-x^{2} &\quad\vert\quad \frac{\textrm{d}f(x)}{\textrm{d}x} \\ 2\cdot f(x)\cdot f'(x) &= -2x \\ f(x)\cdot f'(x) &= -x \\ f'(x) &= \dfrac{-x}{f(x)} \\ f'(x) &= \dfrac{-x}{\sqrt{1-x^{2}}}. \end{aligned}$$ Bei der 2. Ableitung geht es am einfachsten mit der Quotientenregel unter Verwendung der nun bereits bekannten 1. Ableitung.

Die Ableitungen existieren für \(x=\mathbb{D}_f\setminus\left\{-1,{+1}\right\}\).

Comments

Noch einfacher :
Die Ableitung f' bekommt man ohne Differentialrechnung heraus, denn beim Kreis ist die Tangente senkrecht auf dem Berührradius \(\vec r = \begin{pmatrix} x\\y \end{pmatrix} \) , hat also den Richtungsvektor \( \begin{pmatrix} -y\\x \end{pmatrix} \) mit der Steigung -x/y.
Und wenn man nicht differenzieren kann, kann man für die zweite Ableitung f" die Formel für den Krümmungsradius r=1 benutzen.

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Das hilft dem Frager sicher ungeheuer! Er kann eine einfache Funktion nicht ableiten, soll aber erkennen dass er's mit einer Form der Kreisgleichung zu tun hat, dann noch Vektoren, Toll!

lul

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zur 2. Ableitung entlang dem schon erwähnten Weg über die Quotientenregel und unter Verwendung der bereits bekannten 1. Ableitung: $$\begin{aligned} f'(x) &= \dfrac{-x}{f(x)}  &\quad\vert\quad \frac{\textrm{d}f'(x)}{\textrm{d}x} \\[2em] f''(x) &= \dfrac{-f(x)+x\cdot f'(x)}{\left(f(x)\right)^2} \\[2em] &= \dfrac{-f(x)+x\cdot \dfrac{-x}{f(x)}}{\left(f(x)\right)^2} &\quad\vert\quad \cdot\dfrac{f(x)}{f(x)} \\[2em] &= -\dfrac{\left(f(x)\right)^2+x^2}{\left(f(x)\right)^3} \\[2em] &= -\dfrac{\left(\sqrt{1-x^{2}}\right)^2+x^2}{\left(\sqrt{1-x^{2}}\right)^3} \\[2em] &= -\left(\sqrt{1-x^{2}}\right)^{-3}. \end{aligned}$$