Ableitungen Kettenregel, innerer und äußerer Term nochmal erklärt

Question

Aufgabe: Ableitungen von Termen

Folgender Term muss abgeleitet werden:

y= x^2 * a^x^2

Zu Beginn muss du Kettenregel für a^x^2 angewendet werden und dann eingesetzt in die Produktregel

Mir erschließt sich nicht warum a^x^2 abgeleitet nach der KR ergibt: 2x* ln(a)*a^x^2

Warum ist es am Ende wieder a^x^2 und nicht „nur“ a^x

Meine Lösung lautete 2x*ln(a)*a^x

Der innere Term ist ja: x^2 und mein äußerer Term ist: a^x

Es kann ja nicht auch a^x^2 mein äußerer Term sein oder?

Meine Gesamtlösung für die Aufgabe war: 2x *a^x^2 + x^2 * 2x*ln(a)*a^x , die ja aber offensichtlich falsch ist

Kann mir das bitte jemand erklären ich komm einfach nicht drauf

Answer 1

Der innere Term ist ja: x^2 und mein äußerer Term ist: a^x  

Also ist die Abl. der äußeren Funktion ln(a)*a^x .

Die Abl. der inneren   2x

Kettenregel:

Abl. der äußeren an der Stelle der inneren * Abl. der inneren gibt

 \(  ln(a) \cdot a^{x^2} \cdot 2x \)

Comments

Was bedeutet: Ableitung der äußeren an der Stelle der inneren?

Wieso wird aus a^x jetzt ein wieder ein a^x^2, das verstehe ich noch nicht

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Meine Antwort bezog sich nur auf die Abl. von \(   a^{x^2} \),

weil ich dachte, dass dies dein Problem sei.

zu:

Wieso wird aus a^x jetzt ein wieder ein a^x^2, das verstehe ich noch nicht

\(  a^{x^2} \) ist doch von der Form f(g(x)) mit f(x)=a^x und g(x)=x^2

Nach der Kettenregel ist die Ableitung dann

f ' (g(x) ) * g ' (x)

und wegen f'(x) = ln(a)*a^x ist f'(g(x))= \(  ln(a) \cdot a^{x^2} \),

die Ableitung von \(  a^{x^2} \) ist also dann \(  ln(a) \cdot a^{x^2}\cdot 2x \).

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Ok danke! Ich hab verstanden